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    • 基本问题

    1. 个人笔记(川大)

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    2. 模型问题

    2.1. 扩散问题

    {−∇⋅(a∇u)+cu=f,in Ωu=0,On ∂Ω\begin{cases} -\nabla \cdot (a \nabla u) + cu = f, \quad &\text{in } \Omega\\ u=0, \quad & \text{On } \partial \Omega \end{cases}

    Vg={v∈H1(Ω),v∣∂Ω=g}V_g= \{ v\in H^{1}(\Omega) , v|_{\partial \Omega} = g\}

    注：VgV_g不是空间，只是用于分析

    取w∈H1(Ω)w \in H^1(\Omega), 使得w∣∂Ω=gw|_{\partial \Omega} = g
    定义新的函数
    u^=u−w\hat{u} = u -w
    于是可以转化为齐次边界条件
    {−∇⋅(∇u^)=f−∇⋅(∇w),in Ωu^=0,On ∂Ω\begin{cases} -\nabla \cdot (\nabla \hat u) = f -\nabla \cdot (\nabla w) , \quad &\text{in } \Omega\\ \hat u=0, \quad & \text{On } \partial \Omega \end{cases}

    graph RL A[弱形式] --> B((PDE问题)) C((变分问题)) --> A B -- 分部积分 --> A

    注：弱形式不一定有变分问题

    3. 问题的等价性

    u=arg min⁡v∈VJ(v)=12a(v,v)−F(v)u = \argmin_{v\in V} J(v) = \frac{1}{2}a(v, v) - F(v)
    Proof:

    • J(u)≤J(v),∀v∈VJ(u) \leq J(v), \forall v \in V.
      Let u=w−vu = w-v
      J(w)=J(u+v)=J(u)+P,P≥0.J(w) = J(u+v) = J(u) + P, \quad P\geq 0.
    • ϕ(t)=J(u+tv)\phi(t) = J(u + tv)
      因为JJ在uu取最小值
      所以ϕ(0)\phi(0)是ϕ\phi的最小值
      所以
      ϕ′(0)=0\phi'(0)=0

    4. Abstract Garlerkin method

    4.1. 数值格式

    (GP)： Find u∈Vu \in V s.t.
    a(u,v)=F(v),v∈V.a(u,v) = F(v), \quad v \in V.
    Let VN⊂VV_N \subset V.
    (GP)_N： Find uN∈VNu_N \in V_N s.t.
    a(uN,vN)=F(vN),vN∈VN.a(u_N, v_N) = F(v_N), \quad v_N \in V_N.

    4.2. 存在唯一性

    • 假设a(,)a(,)与F()F()满足Lax-Milgram 1-3，于是 (GP)_N有唯一解

    • 代数证明：

      • 思路： 把问题等价转化为Ax=bAx=b，

      • {ϕj}j=1N\{\phi_j\}_{j=1}^{N}是VNV_N的一组基，后面内容从略。

    4.3. 误差分析

    目标： 是否收敛，收敛速度如何

    4.3.1. Cea Lemma:*

    ∣∣u−uN∣∣V≤Cαinf⁡v∈VN∣∣u−vN∣∣=Cα∣∣u−QNu∣∣|| u - u_N||_V \leq \frac{C}{\alpha} \inf_{v \in V_N} || u - v_N || =\frac{C}{\alpha} || u - Q_Nu ||
    证明: 注意这里的协调性VN⊂VV_N \subset V.
    Step 1: 误差方程
    a(u−uN,vN)=0,∀vN∈VN.a(u-u_N, v_N) = 0 , \quad \forall v_N \in V_N .
    Step 2: 利用误差方程和强制有界性
    α∣∣u−uN∣∣V2≤a(u−uN,u−uN)=a(u−uN,u−vN),\alpha || u - u_N ||_V^2 \leq a(u - u_N, u-u_N) = a(u-u_N, u-v_N) ,
    于是有
    α∣∣u−uN∣∣V2≤C∣∣u−uN∣∣V∣∣u−vN∣∣V.\alpha || u - u_N ||_V^2 \leq C||u-u_N ||_V || u-v_N ||_V .
    证毕。

    4.3.2. 插值

    一般意义是点的插值，如果对于不光滑的解，则需要用插值算子定义插值。
    设INI_N是VNV_N上的插值算子，QNQ_N是VNV_N上的投影算子。

    性质
    lim⁡N→∞∣∣u−uN∣∣V=0.\lim_{N\rightarrow\infty} || u - u_N ||_V = 0.

    注：Galerkin-Method可以直接证明解的存在唯一性

    注：如果VN=PN(Ω)V_N = \mathcal P_N(\Omega) 是整体多项式就是谱方法。

    注：如果在Cea Lemma里加一个条件（aa对称），可以改变前面的系数

    注：有限元方法是Galerkin-Method的一个特殊情形
    DG方法也是Galerkin-Method的一个特殊情形

    4.4. FEM细节

    • Mesh: Th={K}\mathcal T_h = \{K\}, 网格没有悬点，它是协调的，

    • 逼近函数： 目标是构造逼近函数空间VhV_{h}限制在单元KK上的空间Vh∣KV_{h}|_K,

    注：逼近空间也可以选择非多项式，例如有理多项式

    逼近空间一般有两种
    Vr(K)=Pr(K) or Qr(K)V_r(K) = P_r(K) \text{ or } Q_r(K)
    其中PrP_r表示三角形网格，整体多项式次数不超过rr; QrQ_r表示矩形网格，每个方向多项式次数不超过rr。

    dim⁡(Pr(K))=(d+r)!d!r!,\dim(P_r(K)) = \frac{(d+r)!}{d!r!},

    dim⁡(Qr(K))=(r+1)d.\dim(Q_r(K)) = (r+1)^d.
    其中dd为空间维数。

    • 构造Vh⊂VV_h \subset V

    对于2阶椭圆问题V=H1(Ω)V = H^1(\Omega),
    −Δu=f,u=0 On ∂Ω.-\Delta u = f,\quad u=0 \text{ On } \partial \Omega.

    对于4阶椭圆问题V=H2(Ω)V = H^2(\Omega),
    −Δ2u=f,u=∂u∂n=0 On ∂Ω.-\Delta^2 u = f,\quad u = \frac{\partial u}{\partial \bm n}=0 \text{ On } \partial \Omega.

    它们的逼近空间
    Vh⊂H1(Ω) iff Vh⊂C0(Ω)V_h \subset H^1(\Omega) \text{ iff } V_h \subset C^0(\Omega)

    Vh⊂H2(Ω) iff Vh⊂C1(Ω)V_h \subset H^2(\Omega) \text{ iff } V_h \subset C^1(\Omega)

    • VhV_h的具体构造

    以V=H1(Ω)V = H^{1}(\Omega)为例，取
    Vh=span{ϕi}i=1NV_h = \text{span}\{ \phi_i \}_{i=1}^N

    Nodal basis: 从略

    • 具体计算(略)

    5. 习题

    • 证明AA是一个正定矩阵，如果aa是对称的，从而AA也是对称的。

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