有限元理论
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Ck(Ω)⊂Wk+1,p(Ω).
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Cea 引理 ∣∣u−uh∣∣V,Ω≤αC∣∣u−Ihu∣∣V,Ω
注意到
∣∣u−Ihu∣∣V,Ω=K∑∣∣u−Ihu∣∣V,K
因此只需要考虑全局插值算子Ih在单元K上的限制(即局部插值算子),记
Ihu∣K=:Ih,Ku.
形函数空间 Vr(K)
插值函数,求pn∈Pn(I),I=[a,b] ,使得
pn(xj)=f(xj)
{Ln,j}j=0n 组成Pn的一组基
Pn=span{Ln,j,j=0,1,⋯,n}
设参考单元K^={(x^,y^):0≤x^,y^,1−x^−y^≤0}
线性变换G满足
x=G(x^)=Bx^+b,x^=G−1(x).
因为是线性变换,相应的雅可比行列式∣J∣=det(B)可做如下推导
∫K1dK=∫K^∣J∣dK^.
可解得∣J∣=∣K∣/∣K^∣=2∣K∣, 其中∣K∣为K的测度。
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∣J∣=det(B)=2∣K∣
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∣u^∣Hm(K^)≤C∣∣B∣∣m∣K∣−21∣u∣Hm(K)
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∣u∣Hm(K)≤C∣∣B−1∣∣m∣K∣21∣u∣Hm(K)∣u^∣Hm(K^)
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∣∣B∣∣≤ρK^hK , ∣∣B−1∣∣≤ρKhK^
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∫K∣u−Ih,Ku∣2dx=∫K^∣u^−I^u^∣2∣J∣dx^
有
∣∣u−Ih,Ku∣∣L2(K)2≤C^hK4∣u∣H2(K)2.
其中C^=ρK^4C.
高阶情况
假设u∈Hs(Ω)(s>1), μ=min{r+1,s}.
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∣∣u−Ih,Ku∣∣L2(K)≤ChKμ∣u∣Hμ(K)
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∣∣u−Ih,Ku∣∣H1(K)≤ChKμ−1∣u∣Hμ−1(K)
因此求和之后有
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∣∣u−Ih,k∣∣L2(K)≤C∑KhKμ∣u∣Hμ(K)≤Chμ∣u∣Hμ(Ω)
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∣∣u−Ih,k∣∣H1(K)≤C∑KhKμ−1∣u∣Hμ(K)≤Chμ−1∣u∣Hμ(Ω)
其中h=maxK{hK}.
假设u∈Hs(Ω)(s>1)使uh是Pr FEM的离散解,有能量范数估计
∣∣u−uh∣∣V=∣∣u−uh∣∣H1(Ω)≤Chμ−1∣u∣Hμ(Ω).
以如下possion问题为例
−Δu=f, in Ω;u=0 on ∂Ω.
假设u∈Hs(Ω)(s>1),记eh=u−uh,假设(GP)正则项足够好,
∣∣u−uh∣∣L2(Ω)≤Chμ∣u∣Hμ(Ω).
证:
因为(GP)的正则项足够好,于是关于ϕ的方程
a(v,ϕ)=(eh,v),∀v∈V
有解ϕ∈H2(Ω), 同时满足∣∣ϕ∣∣H2(ϕ)≤C∣∣eh∣∣L2(Ω)
在方程中取v=eh,注意到误差方程
a(eh,vh)=0,∀vh∈Vh.
于是有
(eh,eh)=a(eh,ϕ)=a(eh,ϕ−Ihϕ)≤C∣∣eh∣∣V∣∣ϕ−Ihϕ∣∣V
再根据插值估计∣∣eh∣∣V≤Chμ−1∣u∣Hμ以及∣∣ϕ−Ihϕ∣∣V≤Ch∣ϕ∣H2(Ω)≤Ch∣∣eh∣∣L2(Ω)
联立起来有
∣∣eh∣∣L2(Ω)2=(eh,eh)≤Chμ∣ϕ∣Hμ(Ω)∣∣eh∣∣L2(Ω)
即
∣∣eh∣∣L2(Ω)≤Chμ∣ϕ∣Hμ(Ω).
要注意到当r=1时结论中有个∣lnh∣
∣∣u−uh∣∣H1(Ω)≤Chmin{r+1,s}−1∣u∣Hs(Ω).
∣∣u−uh∣∣H2(Ω)≤Chmin{r+1,s}−2∣u∣Hs(Ω).
注:
先验误差估计:误差项依赖真解
后验误差估计:计算误差到底有多大
如何求解线性方程组
Ahξ=b
其特点是Ah是大型稀疏矩阵。
解决条件数不好的办法:预处理
依然回到(GP):求u∈V,使得
a(u,v)=F(v),,∀v∈V.
对方程−Δu=f,同时乘以测试函数v做内积
(−Δu,v)=(f,v)
左端2次分部积分
−(u,Δv)=(f,v),∀v∈H2(Ω)∩H01(Ω).
问题本身很复杂,没有乘检验函数做内积
A(x):D2u=f in Ω,u=0 on ∂Ω.
其中算符“:”表示两矩阵间的点乘(对应位置元素想乘最后求和),D2u表示u的黑塞矩阵, tr(D2u)=Δu.
定义
a(u,v)=∫ΩA(x):D2(x)v(x)dx,
F(x)=∫Ωfvdx.
验证f(x)−Inf(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)Πi=0n(x−xi)
−Δu=f, in Ω;u=0 on ∂Ω.
V=H01(Ω),a(u,v)=(∇u,∇v),F(v)=(f,v).
∣∣u−Ih,K∣∣V,K2=∣∣∇(u−Ih,Ku)∣∣K2≤ρK2hK4∣u∣H22
其中ρK为单元K的内切圆半径,满足0≤ρKhK≤S.
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