• {{article.mytitle}}

    • 有限元理论

    1. 个人笔记(川大)

    笔记主页

    1.2. 有限元插值理论

    • Ck(Ω)⊂Wk+1,p(Ω)C^k(\Omega) \subset W^{k+1,p}(\Omega).

    • Cea 引理 ∣∣u−uh∣∣V,Ω≤Cα∣∣u−Ihu∣∣V,Ω|| u - u_h ||_{V,\Omega} \leq \frac{C}{\alpha} || u-I_h u ||_{V, \Omega}

    注意到

    ∣∣u−Ihu∣∣V,Ω=∑K∣∣u−Ihu∣∣V,K|| u-I_h u ||_{V, \Omega} = \sum_{K} || u - I_hu ||_{V,K}

    因此只需要考虑全局插值算子IhI_h在单元KK上的限制(即局部插值算子)，记

    Ihu∣K=:Ih,Ku.I_h u|_K =: I_{h,K}u .

    1.2.1. 例一维P1P_1 FEM

    形函数空间 Vr(K)V_r(K)
    插值函数，求pn∈Pn(I),I=[a,b]p_n \in \mathcal P_n(I),I=[a,b] ,使得
    pn(xj)=f(xj)p_n(x_j) = f(x_j)

    {Ln,j}j=0n\{ L_{n,j} \}_{j=0}^n 组成Pn\mathcal P_n的一组基

    Pn=span{Ln,j,  j=0,1,⋯ ,n}\mathcal P_n = \text{span}\{ L_{n,j},\; j = 0,1,\cdots,n\}

    1.2.2. 插值估计

    设参考单元K^={(x^,y^):0≤x^,y^,1−x^−y^≤0}\hat K=\{(\hat x, \hat y): 0\leq \hat x, \hat y, 1-\hat x-\hat y\leq 0\}

    线性变换GG满足
    x=G(x^)=Bx^+b,x^=G−1(x).x = G(\hat x) = \mathbb B \hat x +\bm b,\quad \hat x = G^{-1}(x).
    因为是线性变换，相应的雅可比行列式∣J∣=det⁡(B)|\mathbb J| = \det(\mathbb B)可做如下推导
    ∫K1  dK=∫K^∣J∣  dK^.\int_{K} 1 \;d K = \int_{\hat K} |\mathbb J| \;d\hat K.
    可解得∣J∣=∣K∣/∣K^∣=2∣K∣|\mathbb J| = |K|/|\hat K|= 2|K|, 其中∣K∣|K|为KK的测度。

    • ∣J∣=det⁡(B)=2∣K∣|\mathbb J|= \det(\mathbb B) = 2|K|

    • ∣u^∣Hm(K^)≤C∣∣B∣∣m∣K∣−12∣u∣Hm(K)|\hat u|_{H^m(\hat K)} \leq C ||\mathbb B||^m|K|^{-\frac{1}{2}} |u|_{H^m(K)}

    • ∣u∣Hm(K)≤C∣∣B−1∣∣m∣K∣12∣u∣Hm(K)∣u^∣Hm(K^)|u|_{H^m(K)} \leq C ||\mathbb B^{-1}||^m|K|^{\frac{1}{2}} |u|_{H^m(K)} |\hat u|_{H^m(\hat K)}

    • ∣∣B∣∣≤hKρK^||\mathbb B|| \leq \frac{h_K}{\rho_{\hat K}} , ∣∣B−1∣∣≤hK^ρK||\mathbb B^{-1}|| \leq \frac{h_{\hat K}}{\rho_{K}}

    • ∫K∣u−Ih,Ku∣2dx=∫K^∣u^−I^u^∣2∣J∣dx^\int_{K} |u - I_{h,K} u|^2 d \bm x = \int_{\hat K} | \hat u - \hat I \hat u |^2 |\mathbb J| d \hat{\bm x}

    有

    ∣∣u−Ih,Ku∣∣L2(K)2≤C^hK4∣u∣H2(K)2.|| u - I_{h,K} u||^2_{L^2(K)} \leq \hat Ch_K^4|u|^2_{H^2(K)}.

    其中C^=CρK^4\hat C = \frac{C}{\rho^4_{\hat K}}.

    高阶情况

    假设u∈Hs(Ω)(s>1)u\in H^s(\Omega)(s>1), μ=min⁡{r+1,s}\mu = \min\{r+1, s\}.

    • ∣∣u−Ih,Ku∣∣L2(K)≤ChKμ∣u∣Hμ(K)|| u - I_{h,K} u ||_{L^2(K)} \leq Ch_K^{\mu} |u|_{H^{\mu}(K)}

    • ∣∣u−Ih,Ku∣∣H1(K)≤ChKμ−1∣u∣Hμ−1(K)|| u - I_{h,K} u ||_{H^1(K)} \leq Ch_K^{\mu-1} |u|_{H^{\mu-1}(K)}

    因此求和之后有

    • ∣∣u−Ih,k∣∣L2(K)≤C∑KhKμ∣u∣Hμ(K)≤Chμ∣u∣Hμ(Ω)||u- I_{h,k}||_{L^2(K)} \leq C\sum_{K} h_K^{\mu} |u|_{H^{\mu}(K)}\leq Ch^{\mu}|u|_{H^{\mu}(\Omega)}

    • ∣∣u−Ih,k∣∣H1(K)≤C∑KhKμ−1∣u∣Hμ(K)≤Chμ−1∣u∣Hμ(Ω)||u- I_{h,k}||_{H^1(K)} \leq C\sum_{K} h_K^{\mu-1} |u|_{H^{\mu}(K)}\leq Ch^{\mu-1}|u|_{H^{\mu}(\Omega)}

    其中h=max⁡K{hK}h = \max_{K}\{h_K\}.

    1.3. 有限元误差估计

    1.3.1. 定理

    假设u∈Hs(Ω)(s>1)u\in H^s(\Omega)(s>1)使uhu_h是PrP_r FEM的离散解，有能量范数估计

    ∣∣u−uh∣∣V=∣∣u−uh∣∣H1(Ω)≤Chμ−1∣u∣Hμ(Ω).||u- u_h||_V = || u - u_h ||_{H^1(\Omega)} \leq Ch^{\mu-1}|u|_{H^\mu(\Omega)}.

    1.3.2. L2L^2模估计(对偶论证)

    以如下possion问题为例
    −Δu=f, in Ω;u=0 on ∂Ω.-\Delta u = f, \text{ in } \Omega;\quad u= 0 \text{ on } \partial \Omega.

    假设u∈Hs(Ω)(s>1)u\in H^s(\Omega)(s>1)，记eh=u−uhe_h = u -u_h，假设(GP)正则项足够好，

    ∣∣u−uh∣∣L2(Ω)≤Chμ∣u∣Hμ(Ω).|| u - u_h ||_{L^2(\Omega)} \leq Ch^{\mu}|u|_{H^\mu(\Omega)}.
    证：
    因为(GP)的正则项足够好，于是关于ϕ\phi的方程
    a(v,ϕ)=(eh,v)，∀v∈Va(v, \phi) = (e_h, v)， \forall v \in V

    有解ϕ∈H2(Ω)\phi \in H^2(\Omega), 同时满足∣∣ϕ∣∣H2(ϕ)≤C∣∣eh∣∣L2(Ω)||\phi||_{H^2(\phi)} \leq C||e_h||_{L^2(\Omega)}

    在方程中取v=ehv=e_h，注意到误差方程

    a(eh,vh)=0,∀vh∈Vh.a(e_h, v_h) = 0, \quad \forall v_h \in V_h.

    于是有
    (eh,eh)=a(eh,ϕ)=a(eh,ϕ ⁣− ⁣Ihϕ)≤C∣∣eh∣∣V∣∣ϕ ⁣− ⁣Ihϕ∣∣V(e_h, e_h) = a(e_h, \phi)=a(e_h, \phi \!- \!I_h\phi)\leq C||e_h||_V || \phi\!-\!I_h\phi ||_V
    再根据插值估计∣∣eh∣∣V≤Chμ−1∣u∣Hμ||e_h||_V\leq Ch^{\mu-1}|u|_{H^\mu}以及∣∣ϕ−Ihϕ∣∣V≤Ch∣ϕ∣H2(Ω)≤Ch∣∣eh∣∣L2(Ω)||\phi-I_h\phi||_V\leq Ch|\phi|_{H^2(\Omega)} \leq Ch||e_h||_{L^2(\Omega)}

    联立起来有
    ∣∣eh∣∣L2(Ω)2=(eh,eh)≤Chμ∣ϕ∣Hμ(Ω)∣∣eh∣∣L2(Ω)||e_h||^2_{L^2(\Omega)} = (e_h, e_h) \leq Ch^{\mu}|\phi|_{H^\mu(\Omega)}||e_h||_{L^2(\Omega)}
    即
    ∣∣eh∣∣L2(Ω)≤Chμ∣ϕ∣Hμ(Ω).||e_h||_{L^2(\Omega)} \leq Ch^{\mu}|\phi|_{H^\mu(\Omega)}.

    1.3.3. L∞L^\infty模估计

    要注意到当r=1r=1时结论中有个∣ln⁡h∣|\ln h|

    1.3.4. 阶问题能量估计

    ∣∣u−uh∣∣H1(Ω)≤Chmin⁡{r+1,s}−1∣u∣Hs(Ω).|| u-u^h ||_{H^1(\Omega)} \leq Ch^{\min\{r+1, s\}-1} |u|_{H^s(\Omega)}.

    ∣∣u−uh∣∣H2(Ω)≤Chmin⁡{r+1,s}−2∣u∣Hs(Ω).|| u-u^h ||_{H^2(\Omega)} \leq Ch^{\min\{r+1, s\}-2} |u|_{H^s(\Omega)}.

    注：
    先验误差估计：误差项依赖真解
    后验误差估计：计算误差到底有多大

    1.4. 线性方程组的求解

    如何求解线性方程组
    Ahξ=b\mathbb A_h \bm \xi = \bm b

    其特点是Ah\mathbb A_h是大型稀疏矩阵。

    • 直接法

    • 迭代法：优势快，缺点条件数o(h−2m)o(h^{-2m}),mm是阶数

      • CG迭代
      • 高斯-雅可比迭代

    解决条件数不好的办法：预处理

    1.5. 推广

    • 有限元框架的推广：例如改变弱形式

    • 非协调推广：Vh⊈VV_h \nsubseteq V

    1.5.1. 例1

    依然回到(GP)：求u∈Vu \in V，使得
    a(u,v)=F(v),,∀v∈V.a(u, v) = F(v), \quad, \forall v \in V.
    对方程−Δu=f-\Delta u = f，同时乘以测试函数vv做内积
    (−Δu,v)=(f,v)(-\Delta u, v) = (f,v)
    左端2次分部积分
    −(u,Δv)=(f,v),∀v∈H2(Ω)∩H01(Ω).-(u, \Delta v) = (f, v), \quad\forall v \in H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega).

    1.5.2. 例2

    问题本身很复杂，没有乘检验函数做内积
    A(x):D2u=f in Ω,u=0 on ∂Ω.A(x) :D^2 u = f \text{ in } \Omega, \quad u=0 \text { on } \partial \Omega.
    其中算符“::”表示两矩阵间的点乘(对应位置元素想乘最后求和)，D2uD^2 u表示uu的黑塞矩阵， tr(D2u)=Δutr(D^2 u) = \Delta u.

    定义
    a(u,v)=∫ΩA(x):D2(x)v(x)dx,a(u, v) = \int_{\Omega} A(x):D^2(x) v(x) dx,
    F(x)=∫Ωfvdx.F(x) = \int_{\Omega} fv dx.

    1.6. 练习

    1.6.1. 练习1

    验证f(x)−Inf(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!Πi=0n(x−xi)f(x)-I_nf(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\Pi_{i=0}^n(x-x_i)

    1.6.2. 练习2

    −Δu=f, in Ω;u=0 on ∂Ω.-\Delta u = f, \text{ in } \Omega;\quad u= 0 \text{ on } \partial \Omega.
    V=H01(Ω),  a(u,v)=(∇u,∇v),  F(v)=(f,v)V=H_0^1(\Omega), \;a(u,v) = (\nabla u, \nabla v), \;F(v) = (f,v).

    ∣∣u−Ih,K∣∣V,K2=∣∣∇(u−Ih,Ku)∣∣K2≤hK4ρK2∣u∣H22||u- I_{h,K}||^2_{V,K} = ||\nabla (u - I_{h,K}u) ||^2_{K} \leq \frac{h_K^4}{\rho_K^2}|u|^2_{H^2}

    其中ρK\rho_K为单元KK的内切圆半径，满足0≤hKρK≤S0\leq \frac{h_K}{\rho_K}\leq S.

    笔记主页