有限元误差分析以及应用

1. 个人笔记(川大)

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2. 复习

• 插值：从一维的拉格朗日插值，推广到高维，最后通过对偶论证证出有限元误差

• 通过仿射映射...

• 逆估计，低模控制高模，代价是系数大，但对多项式不影响，因此只用于多项式的估计
  $$||\nabla v_h ||_{L^2(K)} \leq Ch_K^{-1}||v_h||_{L^2(K)}$$

• 常用技巧

  • 能量范数估计Cea引理
  • $L^2$对偶论证
  • $L^\infty$带权Soblev空间

3. Lax-M定理的推广

(EGP) :求$u\in U$使得
$$a(u,v) = F(v), \quad \forall v\in V.$$

• 连续性：$|a(w,v)|\leq C||w||_U ||V||_V, \quad \forall w\in U,v\in V$
• $F$是有界线性泛函$F(v)\leq ||F||_* ||v||_V, \quad \forall v\in V$
• 广义强制性：
  $$\sup_{v \in V,v\neq0} \frac{a(w,v)}{||v||_V} \geq \alpha || w||_U, \quad w \in U$$
  或
  $$\inf_{w\in U}\sup_{v \in V,v\neq0} \frac{a(w,v)}{||v||_V|| w||_U} \geq \alpha.$$
  其中$\alpha>0$为常数。此外
  $$\sup_{w\in U} a(w,v)>0, \quad v \in V,v\neq0$$

注：这种推广的L-M定理变成了必要条件

3.1. Banach-N-N-B定理

假设连续性和$F$有界性成立，则（EGP）存在唯一的充要条件是广义强制性成立。参考：Babuska and Aziz's paper.
给出稳定性估计：
$$a(u,v)=F(v).$$

$$\begin{matrix} \alpha || u ||_v \leq & \sup_{v\in V,v\neq0} \frac{a(u,v)}{||v||_V} \\[1em] & =\sup \frac{F(v)}{||v||_V} =||F||_*\\ \end{matrix}$$

3.2. Petror-Galerkin method

Let $U_M \subset U$,$V_N\subset V$, 其中$M=\dim U_M, N=\dim V_N$
定义P-G方法（EGP）:求$u_M \in U_M$使得
$$a(u_M, v_N) = F(v_N),\quad \forall v_N \in V_N.$$
问：解是否存在，收敛性如何？

3.3. 推广的Cea引理

假设$a(,),F$满足推广的条件，则(EGP)存在唯一解，假设存在$\alpha_N >0$使得
$$\sup_{v_N\in V_N} \frac{a(w_M, v_N)}{|| v_N ||_{V_N}} \geq \alpha_M || w_M ||_{V_M}, \tag a$$
以及

$$\sup_{w\in U} a(w_M,v_N)>0, \quad v_N \in V,v_N\neq0 \tag b$$

则$(EPG)_N^M$存在唯一解$u_M\in U_M$

证明

• $\{\phi_J\}_{j=1}^N$是$V_N$的一组基，

• $\{\psi_J\}_{j=1}^M$是$U_M$的一组基，

则$(EPG)_N^M$可写成
$$\mathbb A \bm \xi = \bm b$$
$\mathbb A=[a_{ij}]_{NM},\;a_{ij}=a(\psi_j,\phi_i), \;\bm b = [F(\phi_i)]_{N}$

3.4. 练习

如果(a)与(b)成立，则有
$$\sigma_{\min} (\mathbb A) \geq \alpha_h >0$$
因此$\mathbb A$是满秩的，从而线性方程组的解$\mathbb A \bm \xi = \bm b$存在唯一。其中$\sigma_{\min} (\mathbb A)$为$\mathbb A$的最小奇异值。

4. 误差分析

记$e_M = u-u_M = u-w_M + w_M - u_M := \eta_M + \xi_M$, $\forall w_M \in U_M$，根据误差方程$a(\eta_M, v_N)=0, \forall v_n\in V_N$则有

$$\alpha_M || \xi_M ||_{V_M} \leq \sup_{v_N\in V_N} \frac{a(\xi_M, v_N)}{|| v_N ||_{V}} = - \sup_{v_N\in V_N} \frac{a(\eta_M, v_N)}{|| v_N ||_{V}}$$

于是有
$$|| e_M ||_{V} \leq || \eta_M||_V + || \xi_M||_V = (1+\frac{C}{\alpha_M})|| \eta_M ||_V$$

4.1. 投影法

$$a(u_M, v_N) = a(u, v_N), \forall v_N \in V_N$$
则$U_M$为$U$的椭圆投影。

定义$V_N = V_h, V_M = V_h$，其中$V_h, U_h$是两个和网格$\mathcal T_h$相关，(可以不同)的有限元空间

4.2. 能量范数估计

还是原来的老套路，从略，证明的时候注意函数空间就OK

5. 非协调元

只考虑Galerkin框架，和PGFEM类似,取$V_N = U_M, V=U$，非协调性$V_N \nsubseteq V$。
主要问题

• $a(,),\;F()$可能在空间$U_N\times V_N$与$V_N$不能有定义
• 正交性可能不成立
• 必须用离散的模$||.||_{V_h}$

针对求解

• $a_N(,):$是空间$(V_N \cup V)\times (V_N \cup V)$的双线性泛函
• $F_N()$是$(V_N \cup V)$的线性泛函
• G-M方法$(NC-GP)_N$：求$u_N \in V_N$使得
  $$a_N(u_N, v_N) = F_N(v_N) ,\quad v_N \in V_N$$

如果成立
$$a_N(u, v_N) = F_N(v_N) ,\quad v_N \in V_N$$
则$(NC-GP)_N$是相容格式，否则是非相容格式

注： 对于相容格式，同样成立Cea引理，因此误差分析和协调元一致

5.1. 非相容格式

特点：$a(u-u_h, v_h) \neq 0$

两部分误差，一部分是空间逼近误差，另一部分是非协调误差

5.1.1. 引理（Strang 2th）

假设

• $|a_N(v_N, v_N)|\geq \alpha ||v_N||^2_{V_N}, \forall v_N \in V_N \cup V$

• $|F(V_N)| \leq M|| V_N ||_{V_N}, \quad v_N \in V_N \cup V$

则$\exist u_N \in V_N$使得

$||u_N||_{V_N} \leq \frac{M}{\alpha}$

以及

$$||u - u_N ||_{V_N} \leq C_1 \inf_{v_N \in V_N} ||u-v_N||_{V_N} + \frac{1}{\alpha}\sup_{v_N \in V_N} \frac{a(u-u_N, V_N)}{||v_N||_{V_N}}$$

其中$C_1 =(1+\frac{C}{\alpha})$.

证明
记$e_N = u - u_N = (u-v_n)+(v_N - u_N) = \eta_N + \xi_N$

$$a||\xi_N||^2_{V_N} \leq a(\xi_N, \xi_N) = a(e_N , \xi_N)- a( \eta_N, \xi_N)$$

$$||\xi_N ||_{V_N}\leq \frac{C}{\alpha} ||\eta_N||_{V_N} + \frac{1}{\alpha} \frac{a(e_N, \xi_N)}{||\xi_N||_{V_N}}$$
最后运用下三角不等式可证得结果

5.2. 例

$$-\Delta u = f$$

事实：$V_h^{NC}\nsubseteq C^0(\Omega)$

所以$V_h^{NC} \nsubseteq H^1(\Omega)$

分片定义
$$a_h(w_h, v_h) = \sum_{K\in \mathcal T_h} \int_K \nabla w_h \cdot \nabla v_h dx$$

$$F_h(v_h) = \sum_{K\in \mathcal T_h} \int_Kf v_h dx = \int_{\Omega} fvdx = F(v)$$

5.3. P1-非协调有限元方法

求$v_h \in V_h^{NC}$使得
$$a_h(u_h, v_h) = F_h(v_h), \quad \forall v_h \in V_h^{NC}$$

$$|| u - u_h ||_{V_h^{NC}} \leq Ch|u|_{H^2(\Omega)}$$

$$|| v-v_h ||_{V_h^{NC}} = [a_h(v_h, v_h)]^{\frac{1}{2}}$$

通过对偶论证可以提升一阶

$$|| u - u_h ||_{L^2(\Omega)} \leq Ch^2 |u|_{H^2(\Omega)}$$

5.4. 例如

DG 方法可以看作是非协调方法，空间很自由，没有任何连续性要求，因此空间构造很简单，因此难度是$a_h$的选择。

$$V_h^{DG} = \{ v_h: \Omega \rightarrow R, v_h|_K \in P_r(K) , \forall K \in \mathcal T_h\} = \Pi_{K} P_r(K)$$

6. 有限元方法的应用应用

这里不给出弱形式

6.1. Linear elasticity

$$-\nabla \cdot \sigma(\bm u) = \bm f,\quad \text{ in } \Omega \subset \mathbb R^n;\quad \bm u=0, \quad \text{ on } \partial \omega.$$
$\sigma(\bm u) = \lambda\nabla \cdot \bm u + \mu\epsilon(\bm u)$为stress张量，$\epsilon(\bm u)=\frac{1}{2}(\nabla \bm u + \nabla \bm u ^T)$为strain张量，$\bm u$为位移向量

注：实际中$\sigma$ 比$\bm u$重要得多

6.2. 不可压流

$$\begin{cases} \nu \Delta \bm u + \nabla p = \bm f &\text{ in } \Omega\\ \nabla \cdot \bm u = 0 &\text{ in } \Omega\\ \bm u = 0 , &\text{ on }\partial \Omega \end{cases}$$

6.3. N-S方程

$$\begin{cases} \nu \Delta \bm u +(\bm u \cdot \nabla) \bm u+ \nabla p = \bm f &\text{ in } \Omega\\ \nabla \cdot \bm u = 0 &\text{ in } \Omega\\ \bm u = 0 , &\text{ on }\partial \Omega \end{cases}$$
其中$(\bm u \cdot \nabla) \bm u$为非线性项
速度$\bm u$可以选择散度为0的空间，从而上述第二个方程可以不用处理，但是这种空间不是很好构造，比较流行的方法是混合格式

注：混合格式虽然不满足强制性，但是满足弱强制性，因此可以选择用
Banach-Nireberg Necas

7. 练习

• 推广Lax-Milgram定理，更一般的变分框架
  • 先选个大的Hilbert空间$H$，内积$( ,)_H$
  • $U, V\in H$, 范数$||,||_U, \;||,||_V$
  • $a(,)$是$U\times V$上的双线性算子
  • $F()$是$V$上的线性泛函

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