DG理论
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⎩⎨⎧ut+f(u)x=0u(x,0)=u0(x)
-
更弱范数达到高一点的精度,例如∣∣,∣∣−l,l>0
∣∣u∣∣−l=wsup∣∣w∣∣l<u,w>
如果分析∣∣u−uh∣∣−21
考虑投影P:L2↦Pk
(u−Pu,v)j=0,∀v∈Pk(Ij)
∣(u−Pu,w)I∣=∣(u−Pu,w−Pw)I∣≤Ch2k+2
-
Wh=QUh,结论
∣∣u−wh∣∣≤Ch2k+1
-
在强范数的框架下,
∣∣uh−Pu∣∣≤Chk+2
∣∣u−uh∣∣≤∣∣u−Pu∣∣+∣∣uh−Pu∣∣≤C1hk+1+C2(1+t)hk+2
-
在特殊点xjk上,收敛阶高
(u−uh)(xjk)≤Chk+2
(u−uh)(xj+21k)≤Ch2k+1
所以在求数值积分的时候,取点也要注意!不然就会造成数值积分超收敛,比较好的一种办法是对比有限元误差和插值误差。
对间断初值问题,间断附近会有震荡,而且L2范数会掉阶,稳定性不能保证无震荡。
- 加一些人工黏性,但是需要有经验
- 从有限差分有限体积收到启发,加一个限制器
向前欧拉法
(uhn+1,v)j=(uhn,v)j+Δt((f(uhn),vx)j−f^RnVRj+f^LnVLj)
为了提高文档可读性,此后的DG记号依从
VRj=Vj+21−,VLj=Vj−21+.
定义平均值
vˉj=h1∫Ijvdx
u~jRu~jL=uRj−uˉj=uˉj−uLj
定义minmod函数,如果元素同号取绝对值最小的那个元素,否则取0.
m(u~jR)=minmod(u~jR,uˉj+1−uˉj,uˉj−uˉj−1)
m(u~jL)=minmod(u~jL,uˉj+1−uˉj,uˉj−uˉj−1)
目标u~jR=u~jL
-
k=1, u~jR=u~jL, m(u~jR)=m(u~jL)
limited(uj)=uˉj+m(u~jR).
-
k=2, 二次多项式可以通过三个条件唯一确定(两端点函数值,平均值)
-
k=3, 三次多项式不唯一
RKDG TVDM(total variation diminishing in the means)
TV(uˉ)=j∑∣uˉj+1−uˉj∣
如果uˉjn+1=uˉj+CRj(uˉj+1n−uˉjn)−DLj(uˉjn−uˉj−1n)
其中C>0,D>0,C+D>0
那么这个格式是 TVD
证明:
根据递推关系,再 多写一项,然后做差加绝对值做放缩最后求和得
j∑∣uˉjn+1−ujn∣≤A1+A2+A3
其中
A1=j∑(1−CjR−DjR)∣uˉj+1n−uˉjn∣
以及
A2=j∑Cj+2∣uˉj+2n−uˉj+1n∣
和
A3=j∑Dj+1∣uˉj+1n−uˉjn∣
(uhn+1,v)j=(uhn,v)j+Δt((f(uhn),vx)j−f^RnVRj+f^LnVLj)
对上式取v=1
huˉjn+1=huˉjn−Δtf^R+Δtf^L
uˉjn+1=uˉjn−ΔxΔt(f^R−f^L)
即
uˉjn+1=uˉjn−λ(f^R−f^L)
通过加一项减一项f^(uRj,uLj),根据f^的定义
f^Rj=f^(uRj,uLj+1),f^Lj=f^(uRj−1,uLj)
注: 为了简便,把f^的上角标省略
于是有
uˉjn+1=uˉjn−λ(f^R−f^L)
有
CRj=−λuˉj+1−uˉjf^(uRj,uLj+1)−f^(uRj,uLj)
容易证明出
0≤CRj≤λL1
同理
0≤CRj≤λL2
所以
λ≤2(L1+L2)1
当u足够光滑,平均值在中点处是二阶逼近
uˉj=uj+o(h2)
uˉj=h1∫Ijudx=h1∫Iju(xj)+ux(xj)(x−xj)+o(h2)dx
同理
u~jR=uRj−uˉj=2hux(xj)+o(h2)
u~jL=2hux(xj)+o(h2)
再同理
uˉj+1−uˉj=ux(xj)h+o(h2)
m(u~jR)=hux(xj)+o(h2)
因为
N1j∑∣ej∣≥N1h=h2
TVD格式L1 误差至多2阶精度
TV(uˉn+1)≤TV(uˉn)+o(Δt)≤(1+CΔt)TV(uˉn)
修正minmod
如果第一个分量是被Mh2控制,就直接选它
RKDG求解,用到TVD与TVB格式,取M=5,10,20,40,k=0,1,2
ut+ux=0,x∈[0,1],t>0
满足周期边界条件,以及
(1)
u(x,0)=sin(2πx)
(2)
u(x,0)=⎩⎨⎧1,41≤x≤430,else
对TVB格式,求M∗使得M≥M∗, 对光滑函数会保持精度
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