DG其它格式2

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2. 复习回顾

2.1. LDG格式

$$\begin{cases} u_t - u_{xx} = 0\\[1em] u(x,0) = u^0(x) \end{cases}$$

把$u_t - u_{xx} = 0$拆开成
$$\begin{cases} u_t - v_x = 0 \\ v - u_x = 0\\ \end{cases}$$
求$u_h, v_h\in V_h$，使得对$\forall w_h, z_h\in V_h$有
$$\begin{cases} ((u_h)_t, w)_j + (v_h, w_x) + \hat V_R^jW_R^j - \hat V_L^j w_L^j = 0\\[1em] (v_h, z)_j + (u_h, z_x) + \hat U_R^jZ_R^j - \hat U_L^j Z_L^j = 0\\ \end{cases}$$

如果都取均值通量，对于奇数次会掉阶，偶数次丰满阶。

证明DG方法的可用手段

• 测试函数的选取
• 满足特殊边界条件的 投影
• 分部积分
• 格式上：想办法把误差范数平方写到一边，最后约去一个
• 不等式：例如有时间项，则用Gronwall不等式

3. 非线性对流扩散方程

$$u_t + f(u)_x = (a(u)u_x)_x, \quad a(u)\geq 0$$
用某些DG方法可以满足

• 稳定性
• 误差分析

这种方程DG格式不唯一

4. SIPG

$u_t = u_{xx}$

弱形式: 求$u_h \in V_h$，使得对$\forall v_h \in V_h$
$$(u_t, v) = -(u_x, v_x) + \sum_j (U_x)^j_R V^j_{R} - (U_x)^j_L V^j_{L} : = R \tag{a}$$

则可用$(\widehat U_x)^j_R$代替$(U_x)^j_R$,以及

用$(\widehat U_x)^j_L$代替$(U_x)^j_L$，满足

$$(\widehat U_x)^j_R = (\widehat U_x)^{j-1}_L:=(\widehat U_x)^J$$

定义跳跃
$$[u](x) = u(x^+) - u(x^-)$$

于是(a)式离散后，右端为

$$R_h = -\sum_{j} ((u_h)_x, v_x)_j - \sum_{J} (\widehat U_x)^J[V]^J$$

其中小写$j$表示对单元循环，大写$J$表示对边界循环

假设真解$u$连续，则

$$R_h = -\sum_{j} ((u_h)_x, v_x)_j - \sum_{J} (\widehat U_x)^J[V]^J+ (\widehat V_x)^J[U]^J$$

为了保证格式的稳定性，上面边界循环项还要增加一个惩罚项即

$$(\widehat U_x)^J[V]^J+ (\widehat V_x)^J[U]^J + \frac{C}{h}[U]^J[V]^J$$

其中$[U]^J$表示$U$在点$J$处的跳跃，$C>0$并且足够大，所以$C$不太好选取是它的劣势

5. NIPG

惩罚项可以不要，0项取负号，即边界循环的项为

$$(\widehat U_x)^J[V]^J - (\widehat V_x)^J[U]^J + \frac{C}{h}[U]^J[V]^J$$
其中$C$可以任取

6. Ultra-weak DG

两次分部积分的离散格式

求$u_h \in V_h$ 使得$\forall v\in V_h$

$$((u_h)_t, v)_j = R_h^j$$
其中

$$R_h^j = (u_h, V_{xx})_j + (U_x)^j_R V^j_{R} - (U_x)^j_L V^j_{L}-U^j_R V^j_{R} + U^j_L V^j_{L}$$

7. 高阶方程

7.1. KDV方程

$$u_t + \sigma uu_x = \epsilon u_{xxx}$$

简单格式
$$\begin{cases} u_t = u_{xxx}\\[0.5em] u(x,0) = u^0(x) \end{cases}$$

7.2. LDG格式

把方程拆开成一阶组
$$\begin{cases} u_t - w_x=0\\[0.5em] w - v_x = 0\\[0.5em] v - u_x = 0 \end{cases} \tag{*}$$
离散格式和原来的方式类似

注意通量中间的方程要迎风方向，首尾两个方程一个正一个负可任取。

7.3. 稳定性分析

假设(*)式分别测试函数$r,s,z$，则稳定性分析中，分别取$r=u_h$，$s=-v_h$，$z=w_h$，本质原理就是要保证$u_h$能凑成$L_2$范数平方，把$w, v$相关的积分消灭。恰巧导数相关的项会凑在一起变成边界项。

7.4. 误差分析

要注意因为边界项的影响可能会丢半阶，因为边界项需要被内部 估计，投影的构造容易顾此失彼。

8. welrea-weak DG

三次分部积分的离散格式

8.1. 离散格式

求$u_h \in V_h$ 使得$\forall v\in V_h$

$$((u_h)_t, v)_j = R_h^j$$
其中

$$R_h^j = (u_h, V_{xxx})_j +B_h^j$$

边界项
$$\begin{aligned} B_h^j &= (U_{xx})^j_R V^j_{R} - (U_{xx})^j_L V^j_{L}\\[0.5em] &- (U_{x})^j_R (V_{x})^j_{R} + (U_{x})^j_L (V_{x})^j_{L} \\[0.5em] &+(U_{})^j_R (V_{xx})^j_{R} - (U_{})^j_L (V_{xx})^j_{L} \end{aligned}$$
通量
$$\hat u = u^-,\quad \hat u_x = u_x^-,\quad \hat u_{xx} = u_{xx}^+.$$

稳定性

略，和前面一眼

8.2. 误差分析

也和前面一样

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