SAV方法
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拉格朗日乘数法
优势:
缺陷:
ϕt=−GEϕ
假设F(ϕ)有下界,取q=F(ϕ)+C0,
⎩⎨⎧ϕt=−Gμμ=Eϕ=−Δϕ+2qqϕqt=qϕϕt
⎩⎨⎧ϕn+1−ϕn=−ΔtG2μn+1+μn2μn+1+μn=−Δ2ϕn+1+ϕn+22qn+1+qn23qϕn+1−qϕnqn+1−qn=23qϕn+1−qϕn(ϕn+1−ϕn)
上式分别与(μn+1+μn)/2,(ϕn+1−ϕn),2(qn+1+qn)做内积,分部积分即可证得修正能量的稳定性,其中修正能量定义为
E~(ϕn+1)=21∣∣∇ϕn+1∣∣+∣∣qn+1∣∣2
该方法本质上是对拉格朗日乘子法的推广,因此它们的优点和缺点是一致的
假设∫Fdx有下界, 令r(t)=∫Fdx+C0,于是
E(ϕ)=21(ϕ,Gϕ)+(F,1)=21(ϕ,Lϕ)+r2−C0
方程修改为
⎩⎨⎧ϕt=−Gμμ=Lϕ+2r2∫Fdx+C0F′rt=2∫Fdx+C0(F′,ϕt)
同样可以证明上式能量是稳定的
下面介绍离散格式
⎩⎨⎧ϕn+1−ϕn=−ΔtG2μn+1+μn2μn+1+μn=−L2ϕn+1+ϕn+22rn+1+rn2∫F(ϕ~n+21)dx+C0F′(ϕ~n+21)rn+1−rn=2∫F(ϕ~n+21)dx+C01(F′(ϕ~n+21),ϕn+1−ϕn)ϕ~n+21=23ϕn−21ϕn−1
上式中的第三行方程虽然含有ϕn+1,但是因为它在积分项里面,因此可以事先把它当成一个与t相关的常数Zn+1。从而整个方程组的求解只需要求解非线性项,因为常数Zn+1的存在,因此每一步求解需要两次,由于两次都是线性常系数方程,所以计算量非常小。
矩阵的解释为
c1l−L∗Gc2l00∗c3ϕn+1μn+1rn+1=bn
因此可以先求解前两行方程
(c1l−LGc2)(ϕμ)=b
对于CH方程,需要求解如下线性方程
⎩⎨⎧Δt1ϕ+Δμ=fΔϕ+μ=g
待定系数法,设
ψ=aϕ+Δϕbψ−Δψ=f
可以解得a+b=0,ab=Δt1
因此解耦需要加上稳定化因子
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