圆的切点弦

1. 问题一

已知圆$C:x^2+y^2=r^2$, 过圆外一点$P(x_0,y_0)$作圆的两条切线, 切点分别为$A$与$B$, 求直线$AB$.

2. 解答

设$A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$.

2.1. 法一

两条切线方程分别为

$l_{PA}: x_1x+y_1y=r^2$
$l_{PB}: x_2x+y_2y=r^2$

这是因为容易验证两条

• $A$在$l_{PA}$上: $x_1x_1+y_1y_1=r^2$
• $l_{PA}$的法向量为$\overrightarrow{CA}$

因为两条切线都过$P$点, 因此

• $x_1x_0+y_1y_0=r^2$
• $x_2x_0+y_2y_0=r^2$

于是 $l_{AB}: x_0x+y_0y=r^2$.

2.2. 法二

定义圆$Q$: 以$P$为圆心, $|PA|$长为半径. 即 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=|PA|^2$

则圆$C$与圆$Q$的交点为$A$与$B$.

联立两圆的方程,

• $x^2+y^2=r^2$
• $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=|PA|^2$

消去二次项, 得到的一次项方程即为直线方程, 可得

$2x_0x+2y_0y=r^2+(x_0)^2+(y_0)^2-|PA|^2=2r^2$,

上式右端口用到了勾股定理. 整理可得 $l_{AB}: x_0x+y_0y=r^2$.

2.3. 法三

直线$AB$的法向量可取$\overrightarrow{CP}=(x_0,y_0)$, 因此可设直线$AB$方程为

$l_{AB}:x_0x+y_0y=m$

设直线$AB$与直线$PC$的交点为$D$,则根据射影定理得

$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CP}=x_0x_1+y_0y_1=|CD|\cdot|CP|=|CA|^2=r^2$

由$A$在$l_{AB}$上, 因此$m=r^2$, 即

$l_{AB}:x_0x+y_0y=r^2$

3. 问题二

已知圆$C:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, 过圆外一点$P(x_0,y_0)$作圆的两条切线, 切点分别为$A$与$B$, 求直线$AB$.

4. 解答

设$A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$.

4.1. 法一

两条切线方程分别为

$l_{PA}: (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$
$l_{PB}: (x_2-a)(x-a)+(y_2-b)(y-b)=r^2$

这是因为容易验证两条

• $A$在$l_{PA}$上: $(x_1-a)(x_1-a)+(y_1-b)(y_1-b)=r^2$
• $l_{PA}$的法向量为$\overrightarrow{CA}=(x_1-a, y_1-b)$

因为两条切线都过$P$点, 因此

• $(x_1-a)(x_0-a)+(y_1-b)(y_0-b)=r^2$
• $(x_2-a)(x_0-a)+(y_2-b)(y_0-b)=r^2$

于是 $l_{AB}: (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$.

4.2. 法二

定义圆$Q$: 以$P$为圆心, $|PA|$长为半径. 即 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=|PA|^2$

则圆$C$与圆$Q$的交点为$A$与$B$.

联立两圆的方程,

• $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
• $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=|PA|^2$

两式相减, 消去二次项, 得到的一次项方程即为直线方程,

$2(x_0-a)x+2(y_0-b)y=r^2+(x_0)^2+(y_0)^2-|PA|^2-a^2-b^2$,

变形可得

$\begin{aligned} &2(x_0-a)(x-a)+2(y_0-b)(y-b)\\=&r^2+(x_0)^2+(y_0)^2-|PA|^2-a^2-b^2+2(x_0-a)a+2(y_0-b)b\\ =& r^2+(x_0-a)^2+(y_0-b)^2 - |PA|^2 \end{aligned}$

由勾股定理$r^2=|PC|^2-|PA|^2$, 于是

$l_{AB}: (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$.

4.3. 法三

直线$AB$的法向量可取$\overrightarrow{CP}=(x_0-a,y_0-b)$, 因此可设直线$AB$方程为

$l_{AB}:(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=m$

设直线$AB$与直线$PC$的交点为$D$,则根据射影定理得

$\begin{aligned} \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CP}&=(x_0-a)(x_1-a)+(y_0-b)(y_1-b)\\&=|CD|\cdot|CP|=|CA|^2=r^2 \end{aligned}$

由$A$在$l_{AB}$上, 因此$m=r^2$, 即

$l_{AB}: (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$

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