求过给定不共线的三点的圆弧参数方程

1. 问题

给定不共线的三个点$A,B,C$, 求经过这三点的圆弧参数方程

1.1. 解答

不妨始终假定, $A$与$C$是圆弧的端点

通过简单的几何或代数方法可快速确定圆心和半径, 分别设为
$Q$与$r$,

不难想象圆弧参数方程都可表示为:

$Q+(r;\pm t)$, 参数$t\in[t_1,t_2]$

其中$t_1$与$t_2$为待定参数

也就是问题的关键是要求端点值$t_1$与$t_2$以及确定方向

具体求解步骤:

• 计算向量$\overrightarrow{QA}$的角度$t_1$

• 确定弧$\overgroup{ABC}$是顺时针方向或逆时针方向

  • 若为逆时针, 也就是$\overrightarrow{AC}⊗\overrightarrow{BC}>0$
    $Q+(r;\;\;\;t)$, 参数$t\in[t_1,t_2]$
    其中$t_2=t_1+\angle AQC$

  • 若为顺时针, 也就是$\overrightarrow{AC}⊗\overrightarrow{BC}<0$
    $Q+(r;-t)$, 参数$t\in[t_1,t_2]$
    其中$t_2=t_1+\angle CQA$

要主意这里$\overrightarrow{AC}⊗\overrightarrow{BC}$表示得到两平面向量叉积的$z$轴值

1.2. GeoGebra代码

一般性代码

A=(0,0)
B=(1,0)
C=(0,1)
Q=center(circle(A,B,C))
r=abs(QA)
t1=angle(A-Q)
d=cross(A-C,B-C)
t3=if(d>0,angle(A,Q,C),angle(C,Q,A))
t2=t1+t3
c=curve(Q+(r;t*sgn(d)),t,t1,t2)

参数归一化代码

A=(0,0)
B=(1,0)
C=(0,1)
Q=center(circle(A,B,C))
r=abs(QA)
t1=angle(A-Q)
d=cross(A-C,B-C)
t3=if(d>0,angle(A,Q,C),angle(C,Q,A))
c=curve(Q+(r;t1+t3*t*sgn(d)),t,0,1)

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