圆的公切线

1. 圆外一点切线问题

已知点$P(x_0,y_0)$在圆$C:(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2$外, 求过点$P$引圆$C$的两条切线.

2. 求解

2.1. 距离法

设切线的斜率为$k$(至少有一个斜率存在), 切线方程设为$y=k(x-x_0)+y_0$, 则由距离公式

$$r=\dfrac{|k(x_1-x_0)+y_0-y_1|}{\sqrt{1+k^2}}.$$

化简整理后为关于$k$的二次函数, 如果只有一个解, 那么另外一条切线是$x=x_0$.

该方法容易想到, 但是解一元二次方程可能计算量会比较大, 因此不太推荐

2.2. 正切公式法(推荐)

设切线方程为$y=k(x-x_0)+y_0$.

如图所示, $\tan \alpha = \dfrac{r}{\sqrt{|PC|^2-r^2}}$,

直线$PC$的斜率为$k_{PC}=\dfrac{y_0-y_1}{x_0-x_1}$,

则切线斜率可以表示为

$$k=\dfrac{k_{PC}+\tan \alpha}{1-k_{PC}\tan \alpha} \text{ 或 } \dfrac{k_{PC}-\tan \alpha}{1+k_{PC}\tan \alpha},$$

上式若有出现分母为零, 则对应切线为$x=x_0$.

若$k_{PC}$的分母为零, 则$k=\pm \dfrac{1}{\tan \alpha}$.

推荐用该方法,

用此法, 必画图!

3. 两圆公切线问题

如何求两个圆

• $圆O_1:(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r_1^2$
• $圆O_2:(x-x_2)^2+(y-y_2)^2=r_2^2$

的公切线?

4. 求解

4.1. 方程法(推荐)

设公切线方程为$y=kx+b$, 列出方程组

$$\begin{cases} \dfrac{|kx_1+b-y_1|}{\sqrt{1+k^2}}=r_1\\[1em] \dfrac{|kx_2+b-y_2|}{\sqrt{1+k^2}}=r_2\\[1em] \end{cases}$$

上面两式相除, 然后整理得

$$r_2|kx_1+b-y_1|=r_1|kx_2+b-y_2|,$$

去绝对值有两种情形, 即:

$$r_2(kx_1+b-y_1)=r_1(kx_2+b-y_2),$$

或

$$r_2(kx_1+b-y_1)=-r_1(kx_2+b-y_2),$$

接下来可以消参, 并回代原方程, 最后求两次一元二次方程, 计算略复杂.

当然有一种办法, 可以通过$k$与$b$的关系, 先求出直线的定点. 例如方程$r_2(kx_1+b-y_1)=r_1(kx_2+b-y_2)$, 可化简整理成

$$k(r_2x_1-r_1x_2) + (r_2-r_1)b=r_2y_1-r_1y_2.$$

因此直线必过定点 $\left(\dfrac{r_2x_1-r_1x_2}{r_2-r_1}, \dfrac{r_2y_1-r_1y_2}{r_2-r_1}\right)$.

若$r_1=r_2$最好用几何法去做

另外一定点可以根据所谓的同构, 直接写出(原理是只需在式中的所有$r_1$前面加上负号), 另一个定点坐标为 $\left(\dfrac{r_2x_1+r_1x_2}{r_2+r_1}, \dfrac{r_2y_1+r_1y_2}{r_2+r_1}\right)$.

求出定点之后, 再根据具体情况求切线:

• 如果定点在其中一个圆内, 则这种情况无解;
• 如果定点在圆上, 则该定点是两圆公切点, 只需考虑圆的切线问题, 这种情况恰好有一组解;
• 如果定点在圆外, 只需考虑圆外一点的切线问题, 这种情况有两组解.

这种方法有点万能, 并且很容易想到, 但是计算需要一定技巧

计算技巧的核心就是, 两式相除, 得到$k$与$b$的关系

4.2. 三角换元法(最推荐)

4.2.1. 圆上一点的切线

不难验证, 过圆 $C:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$上的点$M(a+r\cos t,b+r\sin t )$的切线方程为

$$l:x\cos t+y\sin t - (a\cos t + b\sin t + r) = 0$$

只需验证:

• 点$M$在切线$l$上;
• $l\perp \overrightarrow{MC}$. 也就是要验证 $l$ 的一个法向量$(\cos t, \sin t)$ 与向量$\overrightarrow{MC}$ 平行.

4.2.2. 两圆公切线

根据圆上一点切线的结论, 可以设公切线为

$$x\cos t+y\sin t - (x_1\cos t + y_1\sin t + r_1) = 0$$

或

$$x\cos \theta +y\sin \theta - (x_2\cos \theta + y_2\sin \theta + r_2) = 0.$$

点$O_2(x_2,y_2)$到该公切线的距离等于圆半径$r_2$, 有

$$r_2=|x_2\cos t +y_2\sin t - (x_1\cos t + y_1\sin t + r_1)|$$

去绝对值得

$(\star)\quad (x_2-x_1)\cos t + (y_2-y_1)\sin t = r_1 \pm r_2$

接下来利用辅助角公式求解$(\star)$式. 设$R=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$, 因此可令

• $x_2-x_1=R\sin \theta$
• $y_2-y_1=R\cos \theta$

于是根据$(\star)$式有

$$R\sin(\theta+t)={r_1\pm r_2}$$

所以

$$\begin{aligned} \sin(t)&=\sin(\theta+t-\theta) \\&=\sin(\theta+t)\cos(\theta)-\cos(\theta+t)\sin(\theta)\\ &=\sin(\theta+t)\dfrac{x_2-x_1}{R} \pm \sqrt{1-\sin^2(\theta+t)}\dfrac{y_2-y_1}{R} \end{aligned}$$

其中$\sin(\theta+t)=\dfrac{r_1\pm r_2}{R}$, 因此$\sin(t)$最多可能有四种情况,

得到$\sin(t)$后, 可通过$(\star)$式算出$\cos(t)$

该算法计算量少, 且无需麻烦的讨论.

4.3. 分类讨论法

得分情况讨论, 本质上是需要考虑

• 求两内含圆的公切线(0条)
• 求两内切圆的公切线(1条)
• 求两相交圆的公切线(2条)
• 求两外切圆的公切线(3条)
• 求两外离圆的公切线(4条)

4.3.1. 两内切圆的公切线

只需把两个圆的解析式做差, 也就是公切线为:

$$l:(x-x_1)^2+(y-y_1)^2-(x-x_2)^2-(y-y_2)^2=r_1^2-r_2^2,$$

化简整理得

$$l:(x_2-x_1)x+(y_2-y_1)y=t,$$

其中$t=\dfrac{1}{2}[r_1^2-r_2^2+x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2]$.

只需验证:

• 公切点在公切线

• 切线$l$的法向量与$\overrightarrow{O_1O_2}$平行

自行验证

4.3.2. 两相交圆的公切线

若满足$|r_2-r_1|<|O_1O_2|<r_1+r_2$, 则两圆相交. 此时它们有两条公切线, 分别设为$l_1,l_2$, 设这两条公切线的交点为$P(x_0,y_0)$.

(1) 若$r_1=r_2$, 则两切线都与直线$O_1O_2$平行, 直线$O_1O_2$方程为:

$$(y_2-y_1)(x-x_1)+(x_1-x_2)(y-y_1)=0$$

设切线方程为

$$(y_2-y_1)(x-x_1)+(x_1-x_2)(y-y_1)+t=0$$

则根据平行线距离公式有

$$r=\dfrac{|t|}{|\sqrt{(y_1-y_2)^2+(x_1-x_2)^2}|},$$

于是

$$t=r|O_1O_2| \text{ 或 } -r|O_1O_2|$$

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(2) 若$r_1\neq r_2$, 不妨设($r_2>r_1$)

法一(公切线交点法): 根据向量关系

$$\overrightarrow{O_1P}=\dfrac{r_1}{r_2}\overrightarrow{O_2P}=\dfrac{r_1}{r_2}(\overrightarrow{O_2O_1}+\overrightarrow{O_1P}),$$

于是有

$$\overrightarrow{O_1P}=\dfrac{r_1}{r_2-r_1}\overrightarrow{O_2O_1}$$

(也可直接三角形相似得到上一步)可解得

$$\begin{cases} x_0=x_1+\dfrac{r_1}{r_2-r_1}(x_1-x_2)=\dfrac{r_2x_1-r_1x_2}{r_2-r_1}\\[1em] y_0=x_1+\dfrac{r_1}{r_2-r_1}(y_1-y_2)=\dfrac{r_2y_1-r_1y_2}{r_2-r_1}\\ \end{cases}$$

接下来只需考虑圆外一点求切线的问题, 可参考之前的讨论

法二(辅助圆法):

只给出这种方法的思路, 设公切线方程为$y=kx+b$

• 先构造辅助圆$O_3$, 它与圆$O_2$同心, 半径为$r_2-r_1$.

• 如图, 有$O_2$到虚线距离为$r_2-r_1=\dfrac{|k(x_2-x_1)+y_1-y_2|}{\sqrt{1+k^2}}$.

• 根据$O_1$到公切线距离有$r_1=\dfrac{|kx_1+b-y_1|}{\sqrt{1+k^2}}$.

上面两步可依次求出$k$与$b$.

法三(斜率法):

这种方法先是先求出斜率, 再根据距离公式算出截距. 这里只给出求斜率的办法. 如图, 设公切线斜率为$k$, 两圆心所在直线斜率为$k_0$, 几何关系可以得到

$$\tan \alpha =\dfrac{r_2-r_1}{\sqrt{|O_1O_2|^2-(r_2-r_1)^2}}$$

于是, 根据正切公式

$$k=\dfrac{k_0 \pm \tan \alpha}{1\mp k_0\tan \alpha}$$

4.3.3. 两外切圆的公切线

若满足$|O_1O_2|=r_1+r_2$, 则两圆外切. 公切线共有三条

其中有两条切线的求解方法同两相交圆的公切线

另外一条切线的求解方法同两内切圆的公切线

4.3.4. 两相离圆的公切线

若满足$|O_1O_2|>r_1+r_2$, 则两圆相离. 公切线有四条.

求解思路同两相交圆的公切线, 不同的是, 需要分两种情况讨论

两对切线的交点坐标分别为

$$\begin{cases} x_0=\dfrac{r_2x_1-r_1x_2}{r_2-r_1},\\[1em] y_0=\dfrac{r_2y_1-r_1y_2}{r_2-r_1},\\ \end{cases} \quad \begin{cases} x_0=\dfrac{r_2x_1+r_1x_2}{r_2+r_1},\\[1em] y_0=\dfrac{r_2y_1+r_1y_2}{r_2+r_1}.\\ \end{cases}$$

辅助圆也对应需要做两个, 圆心都是$O_2$, 半径分别是$r_2-r_1$或$r_2+r_1$

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5. GeoGebra绘制两圆公切线

自己动手丰衣足食, 把下面代码一行行输入到下面链接输入框里

• https://kz16.top/geogebra/ggbppt.html
• https://kz16.top/geogebra/5.0/

r1=1
r2=3
A=(2,2)
B=(5,4)
c1:circle(A,r1)
c2:circle(B,r2)
P = (r2*A-r1*B)/(r2-r1)
Tangent(P,c1)
Q = (r2*A+r1*B)/(r2+r1)
Tangent(Q,c1)
# 对于两圆相切的情形,可加上下面代码
tg:LeftSide(c1)-LeftSide(c2)=RightSide(c1)-RightSide(c2)

6. 例题

6.1. 问题

(22年数1)写出与圆$x^2+y^2=1$和$(x-3)^2+(y-4)^2=16$都相切的一条直线的方程

6.2. 三角换元法(最推荐)

在第一个圆上找一点$(\cos t,\sin t)$, 于是可设公切线为

$$x\cos t + y\sin t=1$$

根据点线距等于半径: $|3\cos t+4\sin t-1|=4$

如果在第二个圆上找一点$(3+4\cos t,4+4\sin t)$, 则公切线为:

$$x\cos t+y\sin t=3\cos t+4\sin t+4$$

根据点线距等于半径: $|3\cos t+4\sin t+4|=1$

后面求解过程是一样的

(1) 当$3\cos t+4\sin t-1=4$时, 即

$$\dfrac{3}{5}\cos t +\dfrac{4}{5}\sin t =1$$

令$\sin \theta = \dfrac{3}{5}$, $\cos \theta=\dfrac{4}{5}$,

则$\sin(t+\theta)=1$, $\cos(t+\theta)=0$, 于是

$$\begin{aligned} \sin t &= \sin(t+\theta-\theta) \\ & = \sin(t+\theta)\cos \theta -\cos(t+\theta)\sin \theta\\ &= \cos \theta = \dfrac{4}{5} \end{aligned}$$

从而$\cos t=\dfrac{5}{3}(1-\dfrac{4}{5}\sin t)=\dfrac{3}{5}$

这种计算方式可以优化, 这样写只是为了体现一般性

因此切线方程为: $\dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y-1=0$

(2) 当$3\cos t+4\sin t-1=-4$时, 即

$$\dfrac{3}{5}\cos t+\dfrac{4}{5}\sin t=-\dfrac{3}{5}$$

令$\sin \theta = \dfrac{3}{5}$, $\cos \theta=\dfrac{4}{5}$,

则$\sin(t+\theta)=-\dfrac{3}{5}$, $\cos(t+\theta)=\pm \dfrac{4}{5}$, 于是

$$\begin{aligned} \sin t &= \sin(t+\theta-\theta) \\ & = \sin(t+\theta)\cos \theta -\cos(t+\theta)\sin \theta\\ &= -\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{4}{5} \pm \dfrac{4}{5} \dfrac{3}{5} \\ &= 0 \text{ 或 } - \dfrac{24}{25} \end{aligned}$$

• 当$\sin t=0$时, 得$\cos t=-1$, 公切线: $x+1=0$
• 当$\sin t=- \dfrac{24}{25}$时, 得$\cos t=\dfrac{7}{25}$, 公切线: $\dfrac{7}{25} x-\dfrac{24}{25}y-1=0$

综上所述, 所有公切线为:

• $\dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y-1=0$
• $x+1=0$
• $\dfrac{7}{25} x-\dfrac{24}{25}y-1=0$

6.3. 方程法(推荐)

写出与圆$x^2+y^2=1$和$(x-3)^2+(y-4)^2=16$都相切的一条直线的方程

懒得画图, 就用代数法快速推导出公切线上的点,

这种计算没必要额外记公式

设公切线方程为: $y=kx+b$

根据点线距等于半径, 列两个方程

• $\dfrac{|b|}{\sqrt{1+k^2}}=1$

• $\dfrac{|3k+b-4|}{\sqrt{1+k^2}}=4$

得$|3k+b-4|=4|b|$

(1) 当$3k+b-4=4b$时, 即$3k-3b=4$, 整理得$-k+b=-\dfrac{4}{3}$,

因此, 公切线必过点$P(-1,-\dfrac{4}{3})$,

于是$\tan \alpha=\dfrac{r}{\sqrt{|OP|^2-r^2}}=\dfrac{3}{4}$, 以及 $k_{OP}=\dfrac{4}{3}$

$k=\dfrac{k_{OP}\pm \tan \alpha}{1\mp k_{OP}\tan \alpha}=\dfrac{\dfrac{4}{3}\pm \dfrac{3}{4}}{1\mp 1}$

• 当$k$不存在时, 切线方程为:$x+1=0$
• 当$k=\dfrac{7}{24}$时, 切线方程为: $y=\dfrac{7}{24}(x+1)-\dfrac{4}{3}$

对于此题而言, 直接把$b=k-\dfrac{4}{3}$, 代入到 $\dfrac{|b|}{\sqrt{1+k^2}}=1$中, 反而更简单, 不过这样计算容易遗漏$k$不存在的情形

(2) 当$3k+b-4=-4b$时, 即$3k+5b=4$,整理得$\dfrac{3}{5}k+b=\dfrac{4}{5}$,

因此, 公切线必过点$(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5})$,

不难发现它恰好在第一个圆上,

所以公切线为$\dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y-1=0$

综上所述, 所有公切线为:

• $\dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y-1=0$
• $x+1=0$
• $\dfrac{7}{24} x- y-\dfrac{25}{24}=0$

7. 总结

• 方程法(推荐): 根据点线距等于半径, 列两个方程, 核心地方是两个方程相除. 不想画图的话, 推荐使用该方法.

• 三角变换法(推荐): 通过三角变换直接用一个参数表示出圆方程, 最后通过距离公式得到方程. 不想画图的话, 推荐使用该方法.

• 公切线交点法(没图不推荐): 先用方程法或几何法求出公切线交点, 于是把问题转化为圆外一点切线问题. 不过需要注意同半径的圆这种情况如何去求.

• 辅助圆法与斜率法(没图不推荐): 先求出斜率, 再用点线距离公式求截距.