排列组合

Author : zbzhen, Modified : Sat Oct 29 00:57:53 2022

问题

给定正整数 $k$ 与 $n$ , 求 $n$ 个正整数之和不大于 $k$ 的所有方法数.

求满足不等式 $k_1+k_2+k_3+\cdots k_n \leq k$ 的所有方法数, 其中 $k_i(i=1,2,\cdots,n)$ 为非负整数.

设 $k_i(i=1,2,\cdots,n)$ 为非负整数, 满足

$k_1+k_2+k_3+\cdots k_n \leq k$ .

设 $k_{n+1}$ 使得

$k_1+k_2+k_3+\cdots k_n +k_{n+1} = k$ ,

则 $k_{n+1}$ 也为正整数.

令 $x_i=1+k_{i}$ , 则 $x_i(i=1,2,\cdots,n)$ 为正整数, 且有

$x_1+x_2+\cdots + x_n + x_{n+1}=k+n+1$

求 $k+n+1$ 个球分成 $n+1$ 堆, 每堆至少一个球的方法数,

等同于, 把球排成一条, 然后从 $k+n$ 个空位中插入 $n$ 个挡板的方法数,

也就是 $C_{k+n}^n$