点线距

1. 问题

已知点$P(x_0,y_0)$在直线$l:Ax+By+C=0$外, 求$P$到$l$的距离$d$.

2. 求解

2.1. 法一

设$PH\perp l$, 垂足为$H(x, y)$. 则$d=|PH|$, 取直线$l$的一个法向量$\bm n=(A,B)$,则$\bm n // \overrightarrow{PH}$, 即$B(x-x_0)=A(y-y_0)$, 联立

$$\begin{cases} Ax+By+C=0\\ B(x-x_0)=A(y-y_0)\\ \end{cases}$$

得

$$\begin{cases} A(x-x_0)+B(y-y_0)=-Ax_0-By_0-C\\ B(x-x_0)- A(y-y_0)=0\\ \end{cases}$$

上两式平方想加得

$(A^2+B^2)(|x-x_0|^2+|y-y_0|^2)=|Ax_0+By_0+C|^2$,

因此

$\begin{aligned} d&=\sqrt{\overrightarrow{PH}{}^2} = \sqrt{|x-x_0|^2+|y-y_0|^2}\\ &= \dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \end{aligned}$

2.2. 法二

取直线$l$的一个单位法向量$\bm n=\frac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}(A,B)$, 任取直线$l$上一点$M(x,y)$, 则

$\begin{aligned} d&=|\overrightarrow{PM}\cdot \bm n|=\dfrac{|A(x-x_0)+B(y-y_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}\\ &=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \end{aligned}$

注: 为了更直观, 也可以直接用公式$d=|\overrightarrow{PH}\cdot \bm n|$

2.3. 法三

该方法略微麻烦, 因为需要讨论

取$l$上两点$R(x_2,y_0)$, $S(x_0, y_3)$, 则

• $Ax_2+By_0+C=0$
• $Ax_0+By_3+C=0$

可得

• $|A(x_0-x_2)|=|Ax_0+By_0+C|$
• $|B(y_0-y_3)|=|Ax_0+By_0+C|$

根据面积公式, 得

$\begin{aligned} d&=|PH|=\dfrac{|PR|\cdot|PS|}{|RS|}=\dfrac{|x_0-x_2|\cdot |y_0-y_3|}{\sqrt{|x_0-x_2|^2+|y_0-y_3|^2}}\\ &= \dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \end{aligned}$

2.4. 法四

不等式法, 取等条件, 本质上是法二, 略

2.5. 法五

拉格朗日乘数法

问题等价于求约束条件为$Ax+By+C=0$的最小值问题

$d^2=\underset{x,y}{\min} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2$

令$L(x,y,\lambda)=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+\lambda(Ax+By+C)$

计算偏导, 并令其为零:

$\begin{aligned} L_x &= 2(x-x_0)+\lambda A=0\\ L_y &= 2(y-y_0)+\lambda B=0\\ L_\lambda &= Ax+By+C=0\\ \end{aligned}$

前两个式子消除$\lambda$得到

$B(x-x_0)=A(y-y_0)$

至此, 后续过程同方法一.

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