直线方程的几何意义

1. 常用的形式

设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$ 为直线 $l$ 上任意不重合两点, $H(x,y)$ 为 $l$ 上的点, 常见的直线 $l$ 方程形式有:

$Ax+By+C=0$
$A(x-x_1)+B(y-y_1)=0$
$(y_2-y_1)(x-x_1)-(x_2-x_1)(y-y_1)=0$
$y=kx+b$
$y=k(x-x_1)+y_1$
$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$

其实第3个式子可以等价写成
$(x-x_1)(y-y_2)-(x-x_2)(y-y_1)=0$

需要用到的小技巧:

若向量 $\bm a=(x,y)$ 绕坐标原点旋转 $90^\circ$ 得到 $\bm b$ ,

则 $\bm b=(-y,x)$ 或 $(y,-x)$ , 它们分别对应顺时针及逆时针旋转.

很容易验证

$|\bm a| = |\bm b|$
$\bm a \cdot \bm b = 0$

2. 几何意义

这里只讨论前三个

2.1. 一般式

$l:Ax+By+C=0$

向量 $\bm n = (A,B)$ 称为 $l$ 的法向量,

即 $\bm n \perp l$ , 或 $\bm n \cdot \overrightarrow{PQ} = 0$ .

这是因为

$\bm n \cdot \overrightarrow{PQ} = A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)=0$

凡是与 $l$ 垂直的向量都被称为法向量, 因此直线的法向量有无穷多个, 并且所有法向量都平行.

2.1.1. 结论1

不重合两直线

$l_1:A_1x+B_1y+C_1=0$
$l_2:A_2x+B_2y+C_2=0$

分别取法向量

$\bm n_1=(A_1, B_1)$ , $\bm n_2=(A_2, B_2)$

则

$l_1 \,// \,l_2 \Leftrightarrow \bm n_1 \,// \, \bm n_2 \Leftrightarrow A_1B_2-B_1A_2=0$
$l_1\perp l_2 \Leftrightarrow \bm n_1 \perp \bm n_2 \Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2=0$

用法向量判断方向可以避开讨论斜率

两向量平行可以用比例的内项积等于外项积得到等式. 也可以把其中一个向量旋转 $90^\circ$ 再做向量点乘运算

2.1.2. 结论2

$l:Ax+By+C=0$ 可以改写成向量形式

$\bm n \cdot \overrightarrow{OH}=-C$

2.2. 点法式

设 $H(x, y)$ 在 $l$ 上, 取 $l$ 的一个法向量 $\bm n = (A,B)$ , 则

$\bm n \cdot \overrightarrow{PH}=0$

也就是

$A(x-x_1)+B(y-y_1)=0$

2.3. 两点式

可以借助向量的垂直与平行关系推到

2.3.1. 平行

根据 $\overrightarrow{PH} // \overrightarrow{PQ}$ 得

$(x-x_1,y-y_1)//(x_2-x_1,y_2-y_1)$

外项积 $=$ 内项积

$(x-x_1)(y_2-y_1) = (y-y_1)(x_2-x_1)$

2.3.2. 垂直

$\overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ , 则可取 $l$ 的法向量

$\bm n=\Big((y_2-y_1), \;-(x_2-x_1)\Big)$

根据 $\bm n \cdot \overrightarrow{PH}=0$

直接得到

$l:(y_2-y_1)(x-x_1)-(x_2-x_1)(y-y_1)=0$

2.3.3. 结论

设 $M(x_0, y_0)$ 为直线 $l$ 外一点, 则 $M$ 到直线 $l$ 的距离为

$d = \dfrac{2S_{\triangle MPQ}}{|PQ|} = \dfrac{|(y_2-y_1)(x_0-x_1)-(x_2-x_1)(y_0-y_1)|}{\sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2}}$

上式分母相同, 因此可直接得到三角形面积公式:

$S_{\triangle MPQ} = \dfrac{1}{2}|(y_2-y_1)(x_0-x_1)-(x_2-x_1)(y_0-y_1)|$

由面积公式可以得到
$S_{\triangle HPQ} = \dfrac{1}{2}|(y_2-y_1)(x-x_1)-(x_2-x_1)(y-y_1)|$
也就是说直线表达式 $l:(y_2-y_1)(x-x_1)-(x_2-x_1)(y-y_1)=0$
其左端加绝对值乘以二分之一就是三角形面积公式
其右端为零, 表示 $H,P,Q$ 三点共线, 对应三角形面积为 $0$

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