导数相关笔记

声明： 该笔记只用于学习，该笔记仅供参考，部分错误在所难免

导数定义

$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

注意： 若没有特别的说明，这里讨论的函数都是可导函数

1.初等函数导数

基本初等函数的导数公式($n\in \mathbf{Q}^*$)

$f(x)$	$\sin(x)$	$\cos(x)$	$e^x$	$\ln x$	$x^n$
$f'(x)$	$\cos(x)$	$-\sin(x)$	$e^x$	$\dfrac{1}{x}$	$nx^{n-1}$

常用公式($C$为常数，$a>0$且$a\neq 1$)

$f(x)$	$a^x$	$\log_a x$	$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{x}$	$C$
$f'(x)$	$a^x\ln a$	$\dfrac{1}{x\ln a}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$0$

给出一般指数和对数公式的推导

• $y=\log_ax=\dfrac{1}{\ln a}\ln x$，则 $y'=\dfrac{1}{\ln a} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x\ln a}$.

• $y=a^x=e^{x\ln a}$，则 $y' = e^{x\ln a} \ln a = a^x \ln a$.

2. 运算法则

2.1 数乘

若$h(x)=kf(x)$，$k$为常数，则$h'(x)=[kf(x)]'=kf'(x)$
$\begin{aligned} h'(x) & = \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\\[1em] &= \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{kf(x+\Delta x)-kf(x)}{\Delta x}\\[1em] &=kf'(x) \end{aligned}$

该结论也可以由乘法原理得出

2.1 加(减)法

若$h(x)=f(x)+g(x)$，则$h'(x)=f'(x)+g'(x)$.

$\begin{aligned} h'(x)& =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\\[1em] &= \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{[f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)]-[f(x)+g(x)]}{\Delta x}\\[1em] &= \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} +\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\[1em] &=f'(x)+g'(x) \end{aligned}$

减法同理，自行推导

2.1 乘法

若$h(x)=f(x)\cdot g(x)$，则$h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$.

由恒等式$\color{red}ab-cd=(a-c)d+a(b-d)$及极限加法原则可证
$\begin{aligned} h'(x) &= \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{[f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)]-[f(x)\cdot g(x)]}{\Delta x}\\[1em] &= \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}g(x)\\[1em] &\quad \;+\lim_{\Delta x\rightarrow0}f(x+\Delta x)\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\[1em] &=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \end{aligned}$

2.1 除法

若$h(x)= \dfrac{f(x)}{g(x)}$，则$h'(x)=\dfrac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g^2(x)}$.

先利用后面提到的复合函数求导公式可得到

$\left[\dfrac{1}{g(x)}\right]'= -\dfrac{g'(x)}{g^2(x)}$

再把函数$h(x)$写成$h(x)=f(x)\cdot \dfrac{1}{g(x)}$，最后用乘法公式可证.

3. 复合函数

3.1 最简单的复合函数求导

若$g(x)=f(kx)$，其中$k$为常数，则$g'(x)=kf'(kx)$.
$\begin{aligned} g'(x)=[f(kx)]' &=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f\left[k(x+\Delta x)\right]-f(kx)}{\Delta x} \\[1em] &= k\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(kx+k\Delta x)-f(kx)}{k\Delta x} \\[1em]&=kf'(kx) \end{aligned}$

$\color{red}注意：$ 这里$[f(kx)]'$与$f'(kx)$长得像，但有本质区别，我们不需要纠结这种长相差不多的记号，但是要理解：求导与赋值的顺序不同最后的结果也是不同的.

• $[f(kx)]'$表示先赋值再求导，即$g'(x)=[f(kx)]'$
• $f'(kx)$表示先求导后赋值，令$h(x)=f'(x)$，则
  $h(kx)=f'(kx)$
• 无论是先求导后赋值，还是先赋值后求导都有：
  $g'(x)=[g(x)]'$

例1：已知$f(x)=x^2$，求$[f(3x)]'$与$f'(3x)$.

• 令$g(x)=f(3x)=9x^2$，则$g'(x)=[f(3x)]'=18x$
• 令$h(x)=f'(x)=2x$，因此$h(3x)=f'(3x)=6x$

例2： 已知$y=(3x)^2$，求$y'$

• 解法一(先赋值化简再求导)：$y=9x^2$，因此$y'=18x$
• 解法二(先求导后赋值最后乘以k)：$y'=3\cdot2\cdot(3x)=18x$
• $\color{red}错误解法：$ $y'=2\cdot(3x)=6x$，请说明错误原因？

例3： 已知$y=\ln(3x)$，求$y'$

• 解法一(先赋值化简再求导)：$y=\ln x + \ln 3$，因此$y'=\dfrac{1}{x}$
• 解法二(先求导后赋值最后乘以k)：$y'=3\cdot\dfrac{1}{3x}=\dfrac{1}{x}$

例4： 已知$y=\sin(2x)$，求$y'$
解：$y'=2\cos(2x)$

例5： 已知$y=e^{3x}$，求$y'$
解：$y'=3e^{3x}$

3.2 一般复合函数求导

若$g(x)=f[h(x)]$，则$g'(x)=f'[h(x)]\cdot h'(x)$.

前面提到最简单的复合函数求导公式
若$g(x)=f(kx)$，其中$k$为常数，则$g'(x)=kf'(kx)$
它相当于取定$h(x)=kx$，并算出$h'(x)=k$

下面给出不严格的证明，仅供理解

证明： 根据导数的定义有
$\lim_{\Delta x\rightarrow0} h(x+\Delta x)-h(x)-\Delta x h'(x)=0.$

因此
$\begin{aligned} g'(x) &=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f[h(x+\Delta x)]-f[h(x)]}{\Delta x} \\[1em] &=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f[h(x)+\Delta x h'(x)]-f[h(x)]}{\Delta x} \\[1em] &=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f[h(x)+\Delta x h'(x)]-f[h(x)]}{\Delta x h'(x)} h'(x)\\[1em] &=f'[h(x)] h'(x) \end{aligned}$

例：求下列函数的导数

• $y=\sin(x^2+3x)$

• $y=\sqrt{1-x^2}$

• $y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$

答案

4. 其它性质

奇偶性

• 奇函数的导数是偶函数
• 偶函数的导数是奇函数

这个结论可用导数的数乘公式和复合函数公式推出

定义在实数域上的$f(x)$满足$f(x)=f(-x)$，则
$f'(x)=[f(-x)]' =-[f'(-x)]$

定义在实数域上的$f(x)$满足$f(x)=-f(-x)$，则
$f'(x)=[-f(-x)]' = -[f(-x)]'=[f'(-x)]$

单调性

(1) $f'(x)$在$x\in[a,b]$上可导，$a\leq x_1\leq x_2\leq b$.

• 若$f'(x)\geq0$，则$f(x_1)\geq f(x_2)$
• 若$f'(x)\leq0$，则$f(x_1)\leq f(x_2)$

(2) 若可导函数$f(x)$在$\in[a,b]$上单调递增，则$f'(x)\geq 0$.

(3) 虽然函数$f(x)$在其定义域上满足$f'(x)>0$，但是函数$f(x)\color{red}不一定$在其定义域上单调递增。例如$f(x)=\dfrac{1}{x}$，原因是该函数的定义域所在区间是间断的.

极值

• 实数域上的可导函数$f(x)$，$x_0$是$f(x)$的极值点，则必有$f'(x_0)=0$.

• 实数域上的可导函数$f(x)$，满足$f'(x_0)=0$，则$x_0$不一定是$f(x)$的极值点。例如$f(x)=x^3,x_0=0$.

• 实数域上的一般函数$f(x)$，$x_0$是$f(x)$的极值点，则不一定有$f'(x_0)=0$. 例如$f(x)=|x|,x_0=0$，$f'(0)$的导数不存在.

答案

1. $y=\sin(x^2+3x)$，$y'=(2x+3)\cos(x^2+2x)$

2. $y=\sqrt{1-x^2}$，$y'=\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

3. $y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$

   $y'=\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}(1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}})=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$