三角形面积

1. 问题一

已知$O(0,0)$, $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, 求$\triangle OAB$的面积$S$.

2. 问题二

已知$C(x_0,y_0)$, $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, 求$\triangle CAB$的面积$S$.

设$O(0,0)$, $A'(x_1-x_0,y_1-y_0)$, $B'(x_2-x_0,y_2-y_0)$, 则$\triangle CAB$与$\triangle OA'B'$全等, 于是该问题转化为问题一.

3. 求解

3.1. 法一(小学)

• 原理: 矩形切角得三角形
• 公式: $S=S_{矩形ODEC}-S_{\triangle OBC}-S_{\triangle ODA}-S_{\triangle AEB}$

3.2. 法二(初中)

• 原理: 水平宽, 铅垂高
• 公式: $S=\frac{1}{2}|x_O-x_A|\cdot |y_B-y_F|$

3.3. 法三(高中,推荐)

• 正弦公式: $S=\dfrac{1}{2}|OA|\cdot|OB|\sin\angle AOB$
• 坐标公式: $S=\frac{1}{2}|y_1x_2-x_1y_2|$

因为$\angle AOB\in (0,\pi)$, 根据诱导公式,

$\sin\angle AOB=|\cos(\angle AOB \pm \frac{\pi}{2})|=|\cos(\angle AOB')|$,

其中$B'$为$B$绕$O$旋转$\dfrac{\pi}{2}$所得, 坐标为$\pm(-y_2,x_2)$,(这是因为$OB=OB'$且$\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OB'}=0$). 因此,

$\begin{aligned} S&=\frac{1}{2}|OA|\cdot|OB|\sin\angle AOB\\ &=\frac{1}{2}\Big||OA|\cdot|OB'|\cos\angle AOB'\Big|\\ &=\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB'}| \\&=\frac{1}{2}|(x_1,y_1)\cdot(-y_2,x_2)| \\&=\frac{1}{2}|y_1x_2-x_1y_2| \end{aligned}$

也可以根据下面公式推导:

$(|\mathbf{a}| \cdot|\mathbf{b}| \sin \theta )^2={|\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2}$

$4S^2=[(x_1)^2+(y_1)^2][(x_2)^2+(y_2)^2] - [x_1x_2+y_1y_2]^2$

化简整理

$4S^2=(y_1x_2)^2+(x_1y_2)^2-2x_1x_2y_1y_2=(y_1x_2-x_1y_2)^2$

因此

$S=\frac{1}{2}|y_1x_2-x_1y_2|$

3.4. 法四(高中)

$S=\dfrac{1}{2}|AB|h$, $h$为$AB$边上的高

$l_{AB}:y=k(x-x_1)+y_1, \quad k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(存在)$

$\begin{aligned} S&=\dfrac{1}{2}|AB|h\\ &=\dfrac{1}{2}\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|\dfrac{|y_1-kx_1|}{\sqrt{1+k^2}}\\ &=\dfrac{1}{2}|x_1-x_2||y_1-kx_1|\\ &=\dfrac{1}{2}|x_1-x_2|\Big|y_1-\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x_1\Big|\\ &=\dfrac{1}{2}|y_1x_2-x_1y_2| \end{aligned}$

对于$k$不存在的情形, 从略

3.5. 法五(高中, 推荐)

参考直线方程的几何意义

已知$O(0,0)$, $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, 求$\triangle OAB$的面积$S$.

$\text { 设 } l_{OA}: y_1 x-x_1 y=0, \, d(B, l_{OA})=\dfrac{\left|x_2 y_1-x_1 y_2\right|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}$

二分之一底乘高有:

$S=\dfrac{1}{2} \sqrt{x_1^2+y_1^2} \dfrac{\left|x_1 y_2-x_2 y_1\right|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}} =\dfrac{1}{2}|y_1x_2-x_1y_2|$

对于一般问题:

已知$C(x_0,y_0)$, $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, 求$\triangle ABC$的面积$S$.

$l_{AC}: (x-x_0)(y_1-y_0)-(y-y_0)(x_1-x_0)=0$

则$B$到$l_{AC}$的距离为:

$d=\dfrac{2S}{|AC|} = \dfrac{|(x_2-x_0)(y_1-y_0)-(y_2-y_0)(x_1-x_0)|}{\sqrt{(y_1-y_0)^2+(x_1-x_0)^2}}$

因此

$S=\dfrac{1}{2}|(x_2-x_0)(y_1-y_0)-(y_2-y_0)(x_1-x_0)|$

3.6. 法六(大学)

$S=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}|=\dfrac{1}{2}\Bigg|\left|\begin{array}{c} x_1 & x_2\\ y_1 & y_2\\ \end{array}\right|\Bigg|$

---

返回主页

点我返回主页, 查看更多精彩