求直线对称点最快办法

1. 问题

已知点$P(x_1,y_1)$不在直线$l:Ax+By+C=0$上, 求点$P$关于直线$l$的对称点$Q(x_2,y_2)$

2. 求解

2.1. 经典方法

先找直线$l$的一个法向量$\bm n=(A,B)$,

于是相应直线$l$方向向量可取$\bm m=(-B,A)$

然后根据对称原理: 垂直且平分, 得到二元一次方程组,

$l$与$\overrightarrow{PQ}$垂直得 $\bm m \cdot \overrightarrow{PQ}=0$, 于是

$①\quad -B(x_2-x_1)+A(y_2-y_1)=0$

根据线段$PQ$的中点在直线$l$上得:

$②\quad A\dfrac{x_1+x_2}{2}+B\dfrac{y_1+y_2}{2}+C=0$

下面给出解方程组的技巧:

可以把$②$式可改写成

$③\quad A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)=-2(Ax_1+By_1+C)$

通过 $A\times ③-B\times ①$, 得

$x_2-x_1=-2A\dfrac{Ax_1+By_1+C}{{A^2+B^2}}$

通过 $A\times ① + B\times ③$, 得

$y_2-y_1=-2B\dfrac{Ax_1+By_1+C}{{A^2+B^2}}$

简单移项目, 可得$x_2$与$y_2$的坐标

2.2. 快速方法 1

先找直线$l$的一个法向量$\bm n=(A,B)$,

假设点$P$到直线$l$的距离为$d$, 则根据距离公式

$d=\dfrac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

• 若$\bm n$与向量$\overrightarrow{PQ}$同向, 则

  $\overrightarrow{PQ}=2d\dfrac{\bm n}{|\bm n|}= 2\dfrac{|Ax_1+By_1+C|}{A^2+B^2}\bm n$

• 若$\bm n$与向量$\overrightarrow{PQ}$异向, 则

  $\overrightarrow{PQ}=-2d\dfrac{\bm n}{|\bm n|}= -2\dfrac{|Ax_1+By_1+C|}{A^2+B^2}\bm n$

一旦算出向量$\overrightarrow{PQ}$, 那么$Q$点坐标可以表示为

$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}$

最后经过讨论可去绝对值, 推出最终结论为:

$Q=(x_1,y_1) - 2\dfrac{Ax_1+By_1+C}{A^2+B^2}(A,B)$

这是最容易推导也最好理解的一种推导办法, 缺陷是去绝对值比较麻烦一点

2.3. 快速方法 2

先找直线$l$的一个单位法向量$\bm \tau=\frac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}(A,B)$,

任取直线$l$上一点$H(x_0,y_0)$, 则有

$\overrightarrow{PQ}=2(\overrightarrow{PH}\cdot\bm \tau)\bm \tau$

以及

$Ax_0+By_0+C=0$

再联立$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}$, 得

$\begin{aligned}\overrightarrow{OQ} &=(x_1,y_1)+2\dfrac{A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)}{A^2+B^2}(A,B)\\ &=(x_1,y_1) - 2\dfrac{Ax_1+By_1+C}{A^2+B^2}(A,B) \end{aligned}$

要注意到点$P$到直线$l$的距离$d=|\overrightarrow{PH}\cdot\bm \tau|, 方法二也可由方法一推导出来$

2.4. 快速方法 3(推荐使用)

先求垂点, 再算对称点

设点$P$到$l$的距离为$d$,

构造圆$C:(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=d^2$

设线段$PQ$的中点为$M(x_0,y_0)$, 则$M$在圆上, 且圆$C$在$M$处的切线恰好是$l$, 根据圆的切线公式有:

$l:(x_0-x_1)(x-x_1)+(y_0-y_1)(y-y_1)=d^2$,

另一方面, 根据已知条件$l$的表达式可转化为

$l:A(x-x_1)+B(y-y_1)=-Ax_1-By_1-C$,

同一条直线, 系数一定成比例, 也就是存在实数$k$, 使得

$\begin{cases} x_0-x_1=kA\\ y_0-y_1=kB\\ d^2=k(-Ax_1-By_1-C) \end{cases}$

根据距离公式$d=\dfrac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$, 整理可得

$\begin{cases} x_0=x_1+kA\\ y_0=y_1+kB\\ \end{cases},\;\; k=-\dfrac{Ax_1+By_1+C}{A^2+B^2}$.

最后可得对称点为

$\begin{cases} x_2=x_1+2kA\\ y_2=y_1+2kB\\ \end{cases},\;\; k=-\dfrac{Ax_1+By_1+C}{A^2+B^2}$.

2.5. 一些结论

已知点$P(x_1,y_1)$不在直线$l:Ax+By+C=0$上, 求点$P$到直线$l$的垂足点$M$.

答案为:

$\overrightarrow{OM}= (x_1,y_1) - \dfrac{Ax_1+By_1+C}{A^2+B^2}(A,B)$

推导过程同上,

理解记忆就是

找直线$l$的一个法向量$\bm n=(A,B)$, 则如果该法向量与$\overrightarrow{PM}$同向, 有

$\overrightarrow{PM}=d\dfrac{\bm n}{|\bm n|}$

于是

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{OP}+d\dfrac{\bm n}{|\bm n|}$

向量法和圆切线法是求对称点或者垂足点的快速算法

3. 问题二

已知不重合的两点$Q(x_2,y_2,z_2)$和$R(x_3,y_3,z_3)$在直线$l$上, 求$P(x_1,y_1,z_1)$在$l$上的垂足点$H(x_0,y_0,z_0)$.

3.1. 求解

由共线即系数贡献和为$1$的原理

可设$\overrightarrow{OH}=t\overrightarrow{OQ}+(1-t)\overrightarrow{OR}=\Big(tx_2+(1-t)x_3,ty_2+(1-t)y_3,tz_2+(1-t)z_3 \Big)$

根据垂直关系$\overrightarrow{PH}\perp \overrightarrow{RQ}$, 有

$[tx_2+(1-t)x_3-x_1]\cdot(x_2-x_3)+[ty_2+(1-t)y_3-y_1]\cdot(y_2-y_3)+[tz_2+(1-t)z_3-z_1]\cdot(z_2-z_3)=0$

可解出

$t=\dfrac{\overrightarrow{RP}\cdot\overrightarrow{RQ}}{|QR|^2}$

回代可得$\overrightarrow{OH}$

如果为了求点到直线距离, 也可以直接设
$\overrightarrow{PH}=t\overrightarrow{PQ}+(1-t)\overrightarrow{PR}$
这里的$t$和原来式子中的$t$相等

4. 距离与投影点通用结论

已知直线(或平面)的单位法向量为$\bm n$, $Q$为该直线(或平面)上一点, $P$为直线(或平面)外一点, 则

• $P$到该直线(或平面)的距离$d$为
  $d=|\overrightarrow{PQ} \cdot\bm n |$

• 设$P$到该直线(或平面)的垂足点$H$, 有
  $\overrightarrow{OH}=(\overrightarrow{PQ} \cdot\bm n )\bm n$

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参考链接

• 对称线