对称线

Author : zbzhen,        Modified : Fri Apr 19 10:02:21 2024

1. 预备知识

设直线$l_1:A_1x+B_1y+C_1=0$ 与 $l_2:A_2x+B_2y+C_2=0$ 有公共交点为$P(x_0,y_0)$, 则过点$P$的直线$l_3$可以写成

$\lambda_1(A_1x+B_1y+C_1)+\lambda_2(A_2x+B_2y+C_2)=0$

其中$\lambda_1$与$\lambda_2$为待定常数.

证明:
很容易验证如下两条性质:

• 给出的$l_3$的表达式可以整理成直线的标准形式

• 点$P$在直线$l_3$上

2. 问题一

求不平行的两直线$l_1:A_1x+B_1y+C_1=0$ 与 $l_2:A_2x+B_2y+C_2=0$的角平分线$l$.

2.1. 解法一

问题转化为求角平分线的轨迹, 任取$l$上一点$P(x,y)$, 则$P$到$l_1$,$L_2$的距离相等, 有

$\dfrac{|A_1x+B_1y+C_1|}{\sqrt{(A_1)^2+(A_2)^2}}=\dfrac{|A_2x+B_2y+C_2|}{\sqrt{(A_2)^2+(B_2)^2}}$

2.2. 解法二

根据几何意义知$l$有且仅有两条, 并且它们互相垂直

分别取$l_1$和$l_2$的一个单位法向量为$\bm n_1$与$\bm n_2$, 则

取$l_1$的单位法向量$\bm n_1=\dfrac{1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}(A_1,B_1)$
取$l_2$的单位法向量$\bm n_2=\dfrac{1}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}(A_2,B_2)$, 则$\bm n_1+\bm n_2$ 与 $\bm n_1 - \bm n_2$ 分别为两条角平分线的法向量. 因此所求直线为

$\lambda_1(A_1x+B_1y+C_1)+\lambda_2(A_2x+B_2y+C_2)=0$

其中 $\lambda_1=\dfrac{1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}$, $\lambda_2=\pm\dfrac{1}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$.

3. 问题二

已知不平行的两直线$l_1:A_1x+B_1y+C_1=0$ 与 $l_2:A_2x+B_2y+C_2=0$, 直线$l$与$l_1$关于直线$l_2$对称, 求直线$l$的解析式.

3.1. 解法一(推荐)

设直线$l$的方程为

$l:A_1x+B_1y+C_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2)=0$

任取$l_2$上一点$P(x_2,y_2)$, 则根据$P$到直线$l$与$l_1$的距离$d$相等,可得

$d=\dfrac{|A_1x_2+B_1y_2+C_1|}{\sqrt{(A_1)^2+(B_1)^2}}=\dfrac{|A_1x_2+B_1y_2+C_1|}{\sqrt{|A_1+A_2\lambda|^2+|B_1+B_2\lambda|^2}}$

可得

$[(A_2)^2+(B_2)^2]\lambda^2+2(A_1A_2+B_1B_2)\lambda =0$

得到$\lambda$的非零解为$\lambda = -2\dfrac{A_1A_2+B_1B_2}{(A_2)^2+(B_2)^2}$

3.2. 解法二

任取$l$上的一点$P(x,y)$, 设$P$关于直线$l_2$的对称点为$P'(x',y')$, 因为$P'$在$l'$上, 则

$A_1x'+B_1y'+C_1=0$

于是问题转化为求关于直线的对称点问题,

根据公式(参考这里)

$\begin{cases} x'=x-2A_2\dfrac{A_2x+B_2y+C_2}{(A_2)^2+(B_2)^2}\\[1em] y'=y-2B_2\dfrac{A_2x+B_2y+C_2}{(A_2)^2+(B_2)^2}\\ \end{cases}$

于是$l$的解析式为

$A_1\left[x-2A_2\dfrac{A_2x+B_2y+C_2}{(A_2)^2+(B_2)^2}\right]+B_1\left[y-2A_2\dfrac{A_2x+B_2y+C_2}{(A_2)^2+(B_2)^2}\right]+C_1=0$

简化可得

$(A_1x+B_1y+C_1)+\lambda(A_2x+B_2y+C_2)=0$,

其中$\lambda = -2\dfrac{A_1A_2+B_1B_2}{(A_2)^2+(B_2)^2}$

4. 例题

4.1. 例题1

求直线$x=2$与$y=3$的角平分线

4.1.1. 解答

根据公式, 不难得到$\lambda_1=1$, $\lambda_2=\pm1$, 因此角平分线为

$x-2+y-3=0$ 或 $x-2-y+3=0$, 即

$x+y-5=0$ 或 $x-y+1=0$

4.2. 例题2

求直线$3x+4y+1=0$与$4x+3y+2=0$的角平分线

4.2.1. 解答

根据公式, 不难得到$\lambda_1=5$, $\lambda_2=\pm 5$, 因此角平分线为

$\dfrac{1}{5}(3x+4y+1)\pm\dfrac{1}{5}(4x+3y+2)=0$, 即

$7x+7y+3=0$ 或 $-x+y-1=0$

4.3. 例题3

已知不平行的两直线$l_1:3x+4y+1=0$ 与 $l_2:4x+3y+2=0$, 直线$l$与$l_1$关于直线$l_2$对称, 求直线$l$的解析式.

4.3.1. 法一

设$l:Ax+By+C=0$, 且满足$A^2+B^2=1$, 则$l_2$的表达式可以写成

$Ax+By+C+\frac{1}{5}(3x+4y+1)=0$,

它的系数一定与$l_2$的具体表达式的系数成比例, 可得方程

$\dfrac{A+\frac{3}{5}}{4}= \dfrac{B+\frac{4}{5}}{3}=\dfrac{C+\frac{1}{5}}{2}=t$

$(4t-\frac{3}{5})^2+(3t-\frac{4}{5})^2=1$, 化简得

$25t^2-\frac{48}{5}t=0$, 解得

$t=125/48$或$t=0$(舍)

最后可通过$t$求解出

这种方法比较麻烦

4.3.2. 法二

设三直线的交点为$P$,

先在$l_1$上取异于点$P$的点$Q$

求出$Q$关于直线$l_2$的对称点$H$,

直线$HP$就是要求的直线$l$

这种方法比较麻烦

4.3.3. 法三(推荐)

假设$l$方程为

$3x+4y+1+\lambda(4x+3y+2)=0$

然后在$l_2$上取一点$P(1,-2)$, 则根据$P$到直线$l$与$l_1$的距离$d$相等,可得到关于$\lambda$的方程.

$d=\dfrac{4}{5}=\dfrac{4}{\sqrt{|3+4\lambda|^2+|4+3\lambda|^2}}$

可得

$25\lambda^2+48\lambda =0$

得到$\lambda$的非零解为$-\dfrac{48}{25}$, 得

$l:117x+44y+71=0$

这里计算距离, 其实只需计算分母, 因为分子一定相等,
求解关于$\lambda$的一元二次方程并不麻烦, 这是因为$\lambda=0$必定是其中一个根. 也就是只需考虑一元二次方程的二次项和一次项系数

4.3.4. 法四(推荐)

直接用公式

$(A_1x+B_1y+C_1)+\lambda(A_2x+B_2y+C_2)=0$,

其中$\lambda = -2\dfrac{A_1A_2+B_1B_2}{(A_2)^2+(B_2)^2}$

先算出$\lambda=-2\dfrac{24}{25}=-\dfrac{48}{25}$

因此

$l: 25(3x+4y+1)-48(4x+3y+2)=0$

化简整理得

$l:117x+44y+71=0$

4.3.5. 法五

取$l$上的一点$P(x,y)$, 设$P$关于直线$l_2$的对称点为$P'(x',y')$, 于是根据垂直平分的性质, 可得

$\begin{cases} 3(x'-x)-4(y'-y)=0, &(l_2\perp PP')\\[0.5em] 4\dfrac{x'+x}{2} +3\dfrac{y'+y}{2} +2=0,&(PP'的中点在l_1上)\\ \end{cases}$

因为$P'$在$l'$上, 则

$3x'+4y'+1=0$

上面三个式子, 消去$x'$与$y'$得

$l: 25(3x+4y+1)-48(4x+3y+2)=0$

中间具体过程为:
先把$-4y'=3x'+1$代入第一个式子得
$6x'-3x+4y+1=0$,
并代入到第二个整理后的式子$16x'+16x+12y'+12y+16=0$得
$7x'+16x+12y+13=0$,
最后把新得到的两个式子中的$x'$消除掉, 可得最后结果
$6(16x+12y+13)+7(3x-4y-1)=0$,即
$117x+44y+71=0$

这种方法有点麻烦

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参考链接

• 对称点