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    • 有限元

    1. 个人笔记(川大)

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    1.1. 官网课程视频地址

    1.2. 复习回顾

    graph RL A[方程] --> B((变分原理))

    注：变分格式不唯一

    1.3. 节点基函数

    1.3.1. 三角形/四面体C1C^1元的构造

    全局基函数限制在单元上，非零函数值在某个单元上会得到一个局部节点基函数，因此只需要考虑单元上的节点基函数

    空间维数 多项式次数 自由度个数
    C1C^1元 2 5 21
    C1C^1元 3 9 220

    注：C1C^1元又叫做Arggris元，21个自由度的分布，每个顶点各占6个（二阶偏导），每条边上各1个（方向导数）。

    1.3.2. 三角形C1C^1元的改进

    去掉边界上的3个自由度，可以改进到18个自由度，可参考Arggris的文章

    1.3.3. H1H^1元的定理

    定义：Vhr={vh∈C0(Ω):vh∣K∈Pr(K)}V_h^r = \{v_h\in C^0(\Omega): v_h|_K\in \mathcal P_r(K)\}与

    Vrh={vh:Ω→R;vh∣K∈Pr(K),vh在所有自由度上连续}V_r^h = \{ v_h: \Omega\rightarrow R; v_h|_K\in \mathcal P_r(K), v_h\text{在所有自由度上连续} \}

    于是有Vhr=VrhV_h^r = V_r^h。

    1.3.4. H2H^2元的定理

    同样定义：Vhr={vh∈C1(Ω):vh∣K∈Pr(K)}V_h^r = \{v_h\in C^1(\Omega): v_h|_K\in \mathcal P_r(K)\}与
    Uhr={uh:Ω→R;uh∣K∈Pr(K),uh在所有自由度上函数值和一阶导数值连续}U_h^r = \{ u_h: \Omega\rightarrow R; u_h|_K\in \mathcal P_r(K), u_h\text{在所有自由度上函数值和一阶导数值连续} \}，
    于是有Vhr=UhrV_h^r = U_h^r。

    1.4. 例子

    1.4.1. 矩形H1H^1元例子

    • 矩形双线性元 d=2,  r=1,  dim⁡=4d=2, \;r=1, \;\dim=4
    • 矩形双二次元 d=2,  r=2,  dim⁡=9d=2, \;r=2, \;\dim=9
    • 矩形双三次元 d=2,  r=3,  dim⁡=16d=2, \;r=3, \;\dim=16

    1.4.2. 矩形H2H^2元例子

    • 矩形双线性元 d=2,  r=3,  dim⁡=16d=2, \;r=3, \;\dim=16

    1.4.3. 四面体H1H^1元例子

    • d=3,r=1,dim⁡=4d=3, r=1, \dim=4
    • d=3,r=2,dim⁡=10d=3, r=2, \dim=10

    1.4.4. 长方体H1H^1元例子

    • d=3,r=1,dim⁡=8d=3, r=1, \dim=8
    • d=3,r=2,dim⁡=27d=3, r=2, \dim=27

    1.5. 有限元方法总结

    PDE 问题(GP)(GP):
    Find u∈V,s.t.    a(u,v)=F(v),∀v∈V.\text{Find } u \in V, s.t. \;\; a(u,v)=F(v), \quad \forall v\in V.
    FEM (GP)h(GP)_h:
    Find uh∈Vh,s.t.    a(uh,vh)=F(vh),∀vh∈Vh.\text{Find } u_h \in V_h, s.t. \;\; a(u_h,v_h)=F(v_h), \quad \forall v_h\in V_h.
    这里(GP)h(GP)_h等价于一个线性系统
    Ahsh=bhA_h\bm{s}_h = \bm{b}_h
    当L-M定理成立时，AhA_h是正定的

    xTAhx=a(x,x)≥α∣∣x∣∣V2x^TA_hx = a(x, x) \geq \alpha || x ||_V^2

    如果a(,)a(,)是对称的 ,AhA_h是对称的
    Ahij=a(ϕj,ϕi)=a(ϕi,ϕj)=Ahji{A_h}_{ij} = a(\phi_j, \phi_i) = a(\phi_i, \phi_j)={A_h}_{ji}

    1.5.1. 定理

    lim⁡h→0∣∣u−uh∣∣v=0.\lim_{h\rightarrow0} || u- u_h ||_v = 0.
    这是因为
    lim⁡h→0Vrh=V.\lim_{h\rightarrow0} V_r^h = V.

    1.5.2. 有限元插值理论

    • 假设u∈Ck(Ω)∩V,k=r+1u\in C^k(\Omega) \cap V, k=r+1

    • 假设u∈Wr+1(Ω)∩Vu\in W^{r+1}(\Omega) \cap V，函数不需要每个点有定义。

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