有限元
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graph RL
A[方程] --> B((变分原理))
注:变分格式不唯一
全局基函数限制在单元上,非零函数值在某个单元上会得到一个局部节点基函数,因此只需要考虑单元上的节点基函数
|
空间维数 |
多项式次数 |
自由度个数 |
C1元 |
2 |
5 |
21 |
C1元 |
3 |
9 |
220 |
注:C1元又叫做Arggris
元,21个自由度的分布,每个顶点各占6个(二阶偏导),每条边上各1个(方向导数)。
去掉边界上的3个自由度,可以改进到18个自由度,可参考Arggris
的文章
定义:Vhr={vh∈C0(Ω):vh∣K∈Pr(K)}与
Vrh={vh:Ω→R;vh∣K∈Pr(K),vh在所有自由度上连续}
于是有Vhr=Vrh。
同样定义:Vhr={vh∈C1(Ω):vh∣K∈Pr(K)}与
Uhr={uh:Ω→R;uh∣K∈Pr(K),uh在所有自由度上函数值和一阶导数值连续},
于是有Vhr=Uhr。
- 矩形双线性元 d=2,r=1,dim=4
- 矩形双二次元 d=2,r=2,dim=9
- 矩形双三次元 d=2,r=3,dim=16
- 矩形双线性元 d=2,r=3,dim=16
- d=3,r=1,dim=4
- d=3,r=2,dim=10
- d=3,r=1,dim=8
- d=3,r=2,dim=27
PDE 问题(GP):
Find u∈V,s.t.a(u,v)=F(v),∀v∈V.
FEM (GP)h:
Find uh∈Vh,s.t.a(uh,vh)=F(vh),∀vh∈Vh.
这里(GP)h等价于一个线性系统
Ahsh=bh
当L-M定理成立时,Ah是正定的
xTAhx=a(x,x)≥α∣∣x∣∣V2
如果a(,)是对称的 ,Ah是对称的
Ahij=a(ϕj,ϕi)=a(ϕi,ϕj)=Ahji
h→0lim∣∣u−uh∣∣v=0.
这是因为
h→0limVrh=V.
-
假设u∈Ck(Ω)∩V,k=r+1
-
假设u∈Wr+1(Ω)∩V,函数不需要每个点有定义。
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