有限元

Author : zbzhen,        Modified : Tue Feb 21 15:50:13 2023

1. 个人笔记(川大)

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1.1. 官网课程视频地址

1.2. 复习回顾

注：变分格式不唯一

1.3. 节点基函数

1.3.1. 三角形/四面体$C^1$元的构造

全局基函数限制在单元上，非零函数值在某个单元上会得到一个局部节点基函数，因此只需要考虑单元上的节点基函数

注：$C^1$元又叫做Arggris元，21个自由度的分布，每个顶点各占6个（二阶偏导），每条边上各1个（方向导数）。

1.3.2. 三角形$C^1$元的改进

去掉边界上的3个自由度，可以改进到18个自由度，可参考Arggris的文章

1.3.3. $H^1$元的定理

定义：$V_h^r = \{v_h\in C^0(\Omega): v_h|_K\in \mathcal P_r(K)\}$与

$$V_r^h = \{ v_h: \Omega\rightarrow R; v_h|_K\in \mathcal P_r(K), v_h\text{在所有自由度上连续} \}$$

于是有$V_h^r = V_r^h$。

1.3.4. $H^2$元的定理

同样定义：$V_h^r = \{v_h\in C^1(\Omega): v_h|_K\in \mathcal P_r(K)\}$与
$U_h^r = \{ u_h: \Omega\rightarrow R; u_h|_K\in \mathcal P_r(K), u_h\text{在所有自由度上函数值和一阶导数值连续} \}$，
于是有$V_h^r = U_h^r$。

1.4. 例子

1.4.1. 矩形$H^1$元例子

• 矩形双线性元 $d=2, \;r=1, \;\dim=4$
• 矩形双二次元 $d=2, \;r=2, \;\dim=9$
• 矩形双三次元 $d=2, \;r=3, \;\dim=16$

1.4.2. 矩形$H^2$元例子

• 矩形双线性元 $d=2, \;r=3, \;\dim=16$

1.4.3. 四面体$H^1$元例子

• $d=3, r=1, \dim=4$
• $d=3, r=2, \dim=10$

1.4.4. 长方体$H^1$元例子

• $d=3, r=1, \dim=8$
• $d=3, r=2, \dim=27$

1.5. 有限元方法总结

PDE 问题$(GP)$:
$$\text{Find } u \in V, s.t. \;\; a(u,v)=F(v), \quad \forall v\in V.$$
FEM $(GP)_h$:
$$\text{Find } u_h \in V_h, s.t. \;\; a(u_h,v_h)=F(v_h), \quad \forall v_h\in V_h.$$
这里$(GP)_h$等价于一个线性系统
$$A_h\bm{s}_h = \bm{b}_h$$
当L-M定理成立时，$A_h$是正定的

$$x^TA_hx = a(x, x) \geq \alpha || x ||_V^2$$

如果$a(,)$是对称的 ,$A_h$是对称的
$${A_h}_{ij} = a(\phi_j, \phi_i) = a(\phi_i, \phi_j)={A_h}_{ji}$$

1.5.1. 定理

$$\lim_{h\rightarrow0} || u- u_h ||_v = 0.$$
这是因为
$$\lim_{h\rightarrow0} V_r^h = V.$$

1.5.2. 有限元插值理论

• 假设$u\in C^k(\Omega) \cap V, k=r+1$

• 假设$u\in W^{r+1}(\Omega) \cap V$，函数不需要每个点有定义。

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